3)Determina o domínio de
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função contém duas raízes: uma raiz quadrada
com radicando e uma raiz quarta com radicando . - Para que
esteja bem definida (números reais), cada radicando deve satisfazer as condições necessárias para sua respectiva raiz (aquelas condições precisam ser encontradas). - Devemos fornecer todos os valores de
reais que tornam ambas as expressões reais simultaneamente.
Passo 2
Relembrando as regras para domínio de raízes com índice par (aula rápida e prática):
- Se temos uma raiz de índice par (por exemplo, raiz quadrada ou quarta raiz), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que o valor seja real.
- Assim, para
precisa-se de . - Para
(índice 4, par) precisa-se de .
Aplicando isso ao nosso caso: devemos ter simultaneamente
e
Passo 3
Analisemos a segunda condição, que é mais direta:
Isto significa que, de início, só aceitaremos valores de
não negativos. Mais tarde faremos a interseção com a condição da primeira raiz.
Passo 4
Agora vamos resolver a desigualdade racional
Primeiro identifique os zeros do numerador e do denominador:
- Numerador
quando . - Denominador
quando .
Esses pontos particionam a reta real em três intervalos:
,
e
. Vamos estudar o sinal da fração em cada intervalo (método do quadro de sinais, simples e seguro).
Passo 5
Teste de sinais nos intervalos (escolhendo um ponto de teste em cada intervalo):
- Para
(no intervalo ): Logo a fração é negativa nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): Logo a fração é positiva nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): Logo a fração é negativa nesse intervalo.
Também verifique os pontos críticos:
- Em
o numerador é zero, então a fração vale (desde que o denominador não seja zero). Como , temos em , o que satisfaz a desigualdade . - Em
a expressão não está definida (denominador zero), então precisa ser excluído.
Portanto a solução da desigualdade é
Passo 6
Agora intersecte as duas condições obtidas:
- Da raiz quarta obtivemos
. - Da raiz quadrada obtivemos
.
A interseção é
ou seja, o intervalo fechado
. Observe que
já estava excluído; não aparece na interseção porque
.
Passo 7
Verificações pontuais finais (checar extremos):
- Em
: e . Ambas as raízes estão definidas; pertence ao domínio. - Em
: e . Ambas definidas; pertence ao domínio. - Para
ou (fora de ) alguma das condições falha: para a fração fica negativa; para a quarta raiz fica indefinida em reais.
Concluímos com segurança que o domínio é
.