3)Determina o domínio de f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}-\sqrt[4]{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}-\sqrt[4]{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função contém duas raízes: uma raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;} com radicando \frac{1-x}{1+x} e uma raiz quarta \sqrt[4]{x} com radicando x.
  • Para que f(x) esteja bem definida (números reais), cada radicando deve satisfazer as condições necessárias para sua respectiva raiz (aquelas condições precisam ser encontradas).
  • Devemos fornecer todos os valores de x reais que tornam ambas as expressões reais simultaneamente.

Passo 2

Relembrando as regras para domínio de raízes com índice par (aula rápida e prática):
  • Se temos uma raiz de índice par (por exemplo, raiz quadrada ou quarta raiz), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que o valor seja real.
  • Assim, para \sqrt{A} precisa-se de A \ge 0.
  • Para \sqrt[4]{B} (índice 4, par) precisa-se de B \ge 0.
    Aplicando isso ao nosso caso: devemos ter simultaneamente
\frac{1-x}{1+x} \ge 0
e
x \ge 0.

Passo 3

Analisemos a segunda condição, que é mais direta:
x \ge 0.
Isto significa que, de início, só aceitaremos valores de x não negativos. Mais tarde faremos a interseção com a condição da primeira raiz.

Passo 4

Agora vamos resolver a desigualdade racional
\frac{1-x}{1+x} \ge 0.
Primeiro identifique os zeros do numerador e do denominador:
  • Numerador 1-x=0 quando x=1.
  • Denominador 1+x=0 quando x=-1.
Esses pontos particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). Vamos estudar o sinal da fração em cada intervalo (método do quadro de sinais, simples e seguro).

Passo 5

Teste de sinais nos intervalos (escolhendo um ponto de teste em cada intervalo):
  • Para x=-2 (no intervalo (-\infty,-1)): 1-x=1-(-2)=3>0,\qquad 1+x=1+(-2)=-1<0 \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}<0.Logo a fração é negativa nesse intervalo.
  • Para x=0 (no intervalo (-1,1)): 1-x=1-0=1>0,\qquad 1+x=1+0=1>0 \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}>0.Logo a fração é positiva nesse intervalo.
  • Para x=2 (no intervalo (1,\infty)): 1-x=1-2=-1<0,\qquad 1+x=1+2=3>0 \Rightarrow \frac{1-x}{1+x}<0.Logo a fração é negativa nesse intervalo.
Também verifique os pontos críticos:
  • Em x=1 o numerador é zero, então a fração vale 0 (desde que o denominador não seja zero). Como 1+x=2\neq0, temos \frac{1-x}{1+x}=0 em x=1, o que satisfaz a desigualdade \ge 0.
  • Em x=-1 a expressão não está definida (denominador zero), então x=-1 precisa ser excluído.
Portanto a solução da desigualdade é
-1 < x \le 1.

Passo 6

Agora intersecte as duas condições obtidas:
  • Da raiz quarta obtivemos x \ge 0.
  • Da raiz quadrada obtivemos -1 < x \le 1.
A interseção é
0 \le x \le 1,
ou seja, o intervalo fechado [0,1]. Observe que x=-1 já estava excluído; não aparece na interseção porque x\ge0.

Passo 7

Verificações pontuais finais (checar extremos):
  • Em x=0: \frac{1-0}{1+0}=1\ge0 e \sqrt[4]{0}=0. Ambas as raízes estão definidas; x=0 pertence ao domínio.
  • Em x=1: \frac{1-1}{1+1}=0 e \sqrt[4]{1}=1. Ambas definidas; x=1 pertence ao domínio.
  • Para x>1 ou x<0 (fora de [0,1]) alguma das condições falha: para x>1 a fração fica negativa; para x<0 a quarta raiz fica indefinida em reais.
Concluímos com segurança que o domínio é [0,1].

Resposta

[0,1]

Exercícios relacionados