5)Determina o décimo termo de uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1^{\circ} termo é igual a 5 e a soma de todos os termos dessa P.A.é 480.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • a_1 = 5 (primeiro termo).
    • n = 20 (número de termos).
    • S_{20} = 480 (soma dos 20 termos).
  • Pedido:
    • Determinar o décimo termo a_{10}.

Passo 2

Apresento as fórmulas fundamentais da progressão aritmética (PA) que vou usar, explicando cada símbolo.
  • Fórmula do termo geral:
    a_n = a_1 + (n-1)d
    Onde:
    • a_n é o termo de ordem n.
    • a_1 é o primeiro termo.
    • d é a razão (diferença constante entre termos).
    • n é a posição do termo.
  • Fórmula da soma dos n primeiros termos:
    S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)
    Esta fórmula vem da observação simples: ao somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par dá o mesmo valor a_1+a_n, e há n/2 pares (se n é par). Também podemos escrever a soma usando d:
    S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr),
    onde substituímos a_n por a_1+(n-1)d.

Passo 3

Usar a fórmula da soma para encontrar a razão d. Substituo n=20, a_1=5 e S_{20}=480 em
S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(2a_1 + (20-1)d\bigr).
Agora calculo passo a passo:
480 = 10\bigl(2\cdot 5 + 19d\bigr).
480 = 10\bigl(10 + 19d\bigr).
Divido ambos os lados por 10:
48 = 10 + 19d.
Subtraio 10 de ambos os lados:
38 = 19d.
Divido por 19:
d = \frac{38}{19} = 2.

Passo 4

Com a razão d encontrada, calculo o décimo termo usando a_n = a_1 + (n-1)d com n=10:
a_{10} = a_1 + 9d.
Substituo a_1=5 e d=2:
a_{10} = 5 + 9\cdot 2 = 5 + 18 = 23.

Passo 5

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): o vigésimo termo é
a_{20} = a_1 + 19d = 5 + 19\cdot 2 = 5 + 38 = 43.
A média entre a_1 e a_{20} é (5+43)/2 = 24, multiplicando por 20 20\cdot 24 = 480, que confere com S_{20}. Tudo consistente.

Resposta

23

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