4)O polinómio \mathrm{P}(x)=2 x^{3}+a x^{2}+11 x+b é divisível por (x-2) e \mathrm{P}(1)=-4 Calcula os valores de a e b
(2.0v)

Passo 1

O enunciado dá o polinómio \mathrm{P}(x)=2x^{3}+a x^{2}+11x+b e fornece duas informações:
  1. O polinómio é divisível por (x-2).
  2. \mathrm{P}(1)=-4.
O que o problema pede: calcular os valores de a e b.

Passo 2

Vamos recordar um fato muito útil (e simples) sobre divisibilidade de polinómios: o Teorema do Resto. Ele diz o seguinte de forma direta e prática:
  • Se dividimos um polinómio f(x) por (x-c), o resto dessa divisão é exatamente f\text{(c)}.
  • Em particular, se (x-c) é factor de f(x) (ou seja, divide f(x)), então o resto é zero, logo f\text{(c)}=0.
Aqui, como o enunciado diz que (x-2) divide P(x), isto significa que \mathrm{P}(2)=0. Vou usar isso diretamente.

Passo 3

Aplicando \mathrm{P}(2)=0. Substituímos x=2 em \mathrm{P}(x):
\mathrm{P}(2)=2\cdot(2)^{3}+a\cdot(2)^{2}+11\cdot(2)+b=0.
Agora calculamos passo a passo os termos numéricos:
2\cdot(2)^{3}=2\cdot8=16,\qquad a\cdot(2)^{2}=4a,\qquad 11\cdot2=22.
Substituindo:
16+4a+22+b=0.
Somando os números 16 e 22:
4a+b+38=0.
Isolando b em função de a:
b=-38-4a.

Passo 4

Agora usamos a segunda condição \mathrm{P}(1)=-4. Substituímos x=1 em \mathrm{P}(x):
\mathrm{P}(1)=2\cdot(1)^{3}+a\cdot(1)^{2}+11\cdot(1)+b=-4.
Calculando os termos:
2\cdot(1)^{3}=2,\qquad a\cdot(1)^{2}=a,\qquad 11\cdot1=11.
Portanto:
2+a+11+b=-4.
Somando os números 2 e 11:
a+b+13=-4.
Isolando a+b:
a+b=-17.

Passo 5

Agora substituímos a expressão encontrada para b (do Passo 3) na equação a+b=-17. Lembre que b=-38-4a. Então:
a+(-38-4a)=-17.
Simplificando os termos com a:
a-38-4a=-17 \quad\Rightarrow\quad -3a-38=-17.
Isolamos -3a:
-3a=-17+38=-17+38=21.
Dividindo por -3:
a=\frac{21}{-3}=-7.

Passo 6

Com a=-7, voltamos à fórmula b=-38-4a para calcular b:
b=-38-4\cdot(-7)=-38+28=-10.

Passo 7

Fazemos uma verificação rápida (sempre bom para garantir que não houve erro de contas):
Verificar \mathrm{P}(2)=0:
\mathrm{P}(2)=2\cdot8+(-7)\cdot4+22+(-10)=16-28+22-10=0.
Verificar \mathrm{P}(1)=-4:
\mathrm{P}(1)=2+(-7)+11+(-10)=2-7+11-10=-4.
As duas condições são satisfeitas, logo os valores estão corretos.

Resposta

a=-7
b=-10

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