3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(b) integral duplax^2+y^2 <= 1 d x d yraiz1-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral duplax^2+y^2<=1dx,dyraiz1 - x^2 - y^2
O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, onde x = rcostheta, y = rsintheta e dx,dy = r,dr,dtheta. Note que a região x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, e a integral é imprópria porque o integrando 1raiz1-r^2 explode quando rto1.

Passo 2

Em coordenadas polares a integral fica
integral duplax^2+y^2<=1dx,dyraiz1 - x^2 - y^2 = integral0^2pi!!integral0^1rraiz1 - r^2,dr,dtheta
Nós separamos o fator r do jacobiano e identificamos o integrando radial rraiz1-r^2.

Passo 3

Para avaliar
integral0^1rraiz1 - r^2,dr
fazemos a substituição u = 1 - r^2, logo du = -2r,dr ou r,dr = -tfrac12,du. Quando r vai de 0 a 1, u vai de 1 a 0. Assim
integral0^1rraiz1 - r^2,dr = integralu=1^u=0-tfrac12,duraizu = 12integral0^1u^-tfrac12du = 12l[2u^tfrac12r]0^1 =1

Passo 4

Como o integral radial vale 1, sobra apenas o integral em theta:
integral0^2pi1,dtheta = 2pi

Resposta

2pi

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