8.3E Sejam (r, theta) e (rho, varphi) as coordenadas polares dos pontos P e Q, respectivamente. Use a Lei dos co-senos e deduza que a distância entre P e Q pode ser calculada por:
dist(P, Q)=raizr^2+rho^2-2 r rho cos (theta-varphi)
Use esse resultado e deduza que em coordenadas polares (r, theta) a equação de um círculo de raio R e centro no ponto (rho, varphi) é r^2+rho^2-2 r rho cos (theta-varphi)=R^2.

Passo 1

O enunciado define dois pontos em coordenadas polares: P tem coordenadas (r,theta) e Q tem coordenadas (rho,varphi). Primeiro vamos usar a Lei dos cossenos para obter uma fórmula para a distância dist(P,Q). Depois, usando essa fórmula e impondo que essa distância seja igual a um raio R, deduzimos a equação de um círculo de centro (rho,varphi) nessas mesmas coordenadas.

Passo 2

Considere o triângulo OPQ, onde O é a origem. As arestas valem
OP = r, OQ = rho
e o ângulo entre OP e OQ é
theta - varphi
Pela Lei dos cossenos, o quadrado da distância PQ é
PQ^2 = r^2 + rho^2 - 2,r,rhocos(theta - varphi)
Tomando a raiz, obtemos
dist(P,Q) = raizr^2 + rho^2 - 2,r,rhocos(theta - varphi)

Passo 3

Para que P esteja em um círculo de centro Q e raio R, basta impor
dist(P,Q) = R
Elevando ao quadrado, fica
r^2 + rho^2 - 2,r,rhocos(theta - varphi) = R^2,
que é a equação do círculo buscada em coordenadas polares.

Resposta

dist(P,Q)=raizr^2+rho^2-2rrhocos(theta-varphi)
r^2+rho^2-2rrhocos(theta-varphi)=R^2

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