1. Enunciar o Teorema do Valor Médio e apresentar uma aplicação deste teorema.

Passo 1

O enunciado pede o Teorema do Valor Médio de Lagrange e uma aplicação. Este teorema pertence à parte de cálculo diferencial e relaciona o comportamento da derivada de uma função com a diferença de valores dessa função em extremos de um intervalo.

Passo 2

Enunciamos o teorema:
Seja fcolon [a,b]toR tal que
  1. f é contínua em [a,b],
  2. f é diferenciável em (a,b).
Então existe cin(a,b) tal que
f'(c) ;=;f(b)-f(a)b-a,

Passo 3

Aplicação: “Função com derivada zero é constante”. Suponha f satisfaz as hipóteses do teorema e ainda que
f'(x)=0forall xin(a,b)
Tomemos quaisquer x1,x2in[a,b] com x1<x2. Pelo Teorema do Valor Médio, existe cin(x1,x2) tal que
f'(c)=f(x2)-f(x1)x2-x1
Como f'(c)=0 e x2-x1neq0, segue
f(x2)-f(x1)=0 Longrightarrow f(x2)=f(x1)
Logo f assume o mesmo valor em qualquer par de pontos do intervalo, isto é, f é constante em [a,b].

Resposta

Teorema do Valor Médio de Lagrange. Seja fcolon [a,b]toR contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Aplicação. Se f'(x)=0 para todo x em (a,b), então, pelo teorema, para quaisquer x1<x2 em [a,b] cin(x1,x2) com
0=f'(c)=f(x2)-f(x1)x2-x1 ;Longrightarrow; f(x2)=f(x1),
logo f é constante em [a,b].

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