- Enunciar o Teorema do Valor Médio e apresentar uma aplicação deste teorema.
Passo 1
O enunciado pede o Teorema do Valor Médio de Lagrange e uma aplicação. Este teorema pertence à parte de cálculo diferencial e relaciona o comportamento da derivada de uma função com a diferença de valores dessa função em extremos de um intervalo.
Passo 2
Enunciamos o teorema:
Seja
tal que
-
é contínua em , -
é diferenciável em .
Então existe
tal que
Passo 3
Aplicação: “Função com derivada zero é constante”. Suponha
satisfaz as hipóteses do teorema e ainda que
Tomemos quaisquer
com
. Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Como
e
, segue
Logo
assume o mesmo valor em qualquer par de pontos do intervalo, isto é,
é constante em
.
Resposta
Teorema do Valor Médio de Lagrange. Seja
contínua em
e diferenciável em
. Então existe
tal que
Aplicação. Se
para todo
em
, então, pelo teorema, para quaisquer
em
há
com
logo
é constante em
.