8.3H Determine, se existir, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(b) r=1+cos theta e r=1 / 3(1-cos theta)

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre as curvas polares
r = 1 + costheta
e
r = tfrac13l(1 - costhetar)
O conteúdo é resolver interseção de curvas em coordenadas polares, igualando as expressões de r e encontrando os ângulos theta que as satisfazem.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de r:
1 + costheta ;=;tfrac13l(1 - costhetar)
Multiplicamos por 3 para simplificar:
3,(1 + costheta) = 1 - costheta Longrightarrow 3 + 3costheta = 1 - costheta

Passo 3

Isolamos costheta:
3costheta + costheta = 1 - 3 Longrightarrow 4costheta = -2 Longrightarrow costheta = -tfrac12
As soluções básicas no intervalo [0,2pi) são
theta = tfrac2pi3 e theta = tfrac4pi3.

Passo 4

Para cada theta calculamos r usando, por exemplo, r=1+costheta:
r = 1 + l(-tfrac12r) = tfrac12

Resposta

As curvas se intersectam nos pontos polares
l(r,thetar) = l(tfrac12,tfrac2pi3r) e l(tfrac12,tfrac4pi3r)

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