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Usando derivada logarítmica, calcular a derivada de
.
Usando derivada logarítmica, calcular a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando derivada logarítmica. O conteúdo aqui é a técnica de derivada logarítmica, que serve para funções em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Com essa técnica, a gente aplica logaritmo natural em ambos os lados para transformar potência em produto e facilitar a diferenciação.
Passo 2
Definimos
. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
Pela propriedade de logaritmo de potência, isso vira
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente em relação a
. De um lado,
e do outro, usamos regra do produto em
:
Assim,
Passo 4
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Como
, concluímos