Escolher uma das questões:
Usando derivada logarítmica, calcular a derivada de f(x)=x^x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^x usando derivada logarítmica. O conteúdo aqui é a técnica de derivada logarítmica, que serve para funções em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Com essa técnica, a gente aplica logaritmo natural em ambos os lados para transformar potência em produto e facilitar a diferenciação.

Passo 2

Definimos y = f(x)=x^x. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, temos
ln y = lnl(x^xr)
Pela propriedade de logaritmo de potência, isso vira
ln y = x,ln x

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. De um lado,
ddxl(ln yr)=1y,dydx,
e do outro, usamos regra do produto em x,ln x:
ddxl(x,ln xr) =1cdotln x + xcdot1x =ln x + 1
Assim,
1y,dydx = ln x + 1

Passo 4

Isolando dydx, multiplicamos ambos os lados por y:
dydx = y,l(ln x + 1r)
Como y = x^x, concluímos
dydx = x^x,l(ln x + 1r)

Resposta

f'(x) = x^x,l(ln x + 1r)

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