Calcule, caso exista
lim x 0(1+sen 2 x)^1sen x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0l(1+sin2xr)^1sin x.
Este é um caso de forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica, recorrendo à equivalência
ln(1+u)sim u quando uto0, e depois voltar à exponencial.

Passo 2

Defina
L = limxto0l(1+sin2xr)^1sin x
Se L existir e for positivo, então
ln L = limxto0lnl(1+sin2xr)sin x

Passo 3

Como sin2xto0 quando xto0, usamos ln(1+u)sim u:
lnl(1+sin2xr)sim sin2x
Logo
ln L = limxto0sin2xsin x
Usando sin2x=2sin xcos x, obtemos
sin2xsin x = 2cos x ;longrightarrow; 2 quando xto0

Passo 4

Portanto
ln L = 2 Longrightarrow L = e^2

Resposta

boxede^2

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