2.3I O comprimento l e o período T de um pêndulo simples estão relacionados pela equação T=2 pi raizl / g. Se o valor de l é calculado quando T=1 seg e g=32 pes / s^2, determine o erro cometido se na realidade T=1,02 seg e g=32,01 pes / s^2 [resp. 1,294 pi^2 approx 4 % ]

Passo 1

O enunciado dá a relação do período T de um pêndulo simples com seu comprimento l e a aceleração da gravidade g:
T = 2pi raizlg,
Queremos estimar o erro cometido em l quando se assume T=1~s e g=32~pes/ s^2, mas na verdade T e g valem 1,02~s e 32,01~pes/ s^2.

Passo 2

Isolamos l em função de T e g. Elevando ao quadrado e resolvendo para l, temos
l = g,T^24pi^2,

Passo 3

Usamos diferenciais para obter o erro aproximado De<a l. Como l=gT^2/(4pi^2),
dl = T^24pi^2,dg ;+;2,g,T4pi^2,dT,

Passo 4

Substituímos T=1, g=32, dT=0,02, dg=0,01:
dl = 1^24pi^2,(0,01);+;2cdot32cdot14pi^2,(0,02) = 0,01 + 64cdot0,024pi^2 = 1,294pi^2,

Passo 5

O erro relativo em l é
De<a ll approx 1,29/(4pi^2)32/(4pi^2) = 1,2932 approx 0,04 (ou seja, cerca de 4%)

Resposta

Erro absoluto em l: De<a lapprox1,294pi^2.
Erro relativo em l: De<a llapprox4%.

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