Calcule as integrais
(1,5 pts) integral ln xraizx d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integral ln xraizx,dx
O conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, que serve para integrais do tipo integral u,dv.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando em potências de x:
ln xraizx = (ln x),x^-tfrac12,
logo a integral vira
integral (ln x),x^-tfrac12,dx

Passo 3

Escolhemos
u = ln x, dv = x^-tfrac12,dx
Então
du = dxx, v = integral x^-tfrac12,dx = 2,x^tfrac12

Passo 4

Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du,
temos
integral (ln x),x^-tfrac12,dx = 2,x^tfrac12ln x - 2integral x^tfrac12dxx = 2raizxln x - 2integral x^-tfrac12,dx
Agora calculamos
integral x^-tfrac12,dx = 2,x^tfrac12

Passo 5

Substituindo de volta,
integral ln xraizx,dx = 2raizxln x - 2cdotl(2raizxr) + C = 2raizxln x - 4raizx + C

Resposta

integral ln xraizx,dx = 2raizx,ln x ;-;4raizx + C

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