Em um determinado processador, a quantidade de x Gb de dados, com x <= 10, é processada em T(x)=2 x+280 segundos. Para uma quantidade x>10 Gb, o tempo de processamento é igual a T(x)=K(x^2-10^2)+300 segundos, em que K é uma constante positiva. Isso define a função T:[0, infty) R, em que T(x) é o tempo de processamento de uma quantidade x de dados.
a) Calcule os limites laterais lim x 10^- T(x) e lim x 10^+ T(x).
b) Determine a imagem da função T(x).
c) Calcule o limite lim x 10^+ T(x)-T(10)x-10.
d) Determine o valor de K para o qual a função T(x) é derivável em x=10.

Passo 1

O enunciado define a função T:[0,infty)toR por partes: para x<=10 temos T(x)=2x+280 e para x>10 temos T(x)=K(x^2-10^2)+300, com K>0. Pede-se (a) os limites laterais em x=10, (b) a imagem de T, (c) o limite do quociente incremental à direita em x=10 e (d) o valor de K que garante derivabilidade em x=10. O conteúdo envolvido é continuidade, imagem de funções e derivabilidade de funções definidas por partes.

Passo 2

Para xto10^- usamos T(x)=2x+280. Logo
limxto10^-T(x)=2cdot10+280=300
Para xto10^+ usamos T(x)=K(x^2-100)+300. Então
limxto10^+T(x)=K(10^2-100)+300=300
Portanto ambos os limites laterais valem 300.

Passo 3

No intervalo [0,10] temos T(x)=2x+280, que é crescente com valor mínimo T(0)=280 e máximo T(10)=300, fornecendo [280,300]. Para x>10, T(x)=K(x^2-100)+300 é um polinômio de grau 2 com coeficiente positivo, cujo valor mínimo em x=10 é 300 e cresce até +infty quando xtoinfty, fornecendo (300,infty). Assim a imagem de T é [280,infty).

Passo 4

Calculamos
limxto10^+T(x)-T(10)x-10
Como T(10)=300 e para x>10 vale T(x)=K(x^2-100)+300, temos
T(x)-T(10)x-10 =K(x^2-100)x-10 =K(x-10)(x+10)x-10 =K(x+10)
Fazendo xto10^+ obtém-se 20K.

Passo 5

Para T ser derivável em x=10 é preciso que a derivada à esquerda, que vale 2, seja igual à derivada à direita, que é 20K. Assim
2=20K Longrightarrow K=tfrac110

Resposta

a) limxto10^-T(x)=300 e limxto10^+T(x)=300.
b) Im(T)=[280,infty).
c) limxto10^+T(x)-T(10)x-10=20K
d) K=tfrac110

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