Em um determinado processador, a quantidade de
de dados, com
, é processada em
segundos. Para uma quantidade
, o tempo de processamento é igual a
segundos, em que
é uma constante positiva. Isso define a função
, em que
é o tempo de processamento de uma quantidade
de dados.
a) Calcule os limites laterais
e
.
b) Determine a imagem da função
.
c) Calcule o limite
.
d) Determine o valor de
para o qual a função
é derivável em
.
a) Calcule os limites laterais
b) Determine a imagem da função
c) Calcule o limite
d) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado define a função
por partes: para
temos
e para
temos
, com
. Pede-se (a) os limites laterais em
, (b) a imagem de
, (c) o limite do quociente incremental à direita em
e (d) o valor de
que garante derivabilidade em
. O conteúdo envolvido é continuidade, imagem de funções e derivabilidade de funções definidas por partes.
Passo 2
Para
usamos
. Logo
Para
usamos
. Então
Portanto ambos os limites laterais valem
.
Passo 3
No intervalo
temos
, que é crescente com valor mínimo
e máximo
, fornecendo
. Para
,
é um polinômio de grau 2 com coeficiente positivo, cujo valor mínimo em
é
e cresce até
quando
, fornecendo
. Assim a imagem de
é
.
Passo 4
Calculamos
Como
e para
vale
, temos
Fazendo
obtém-se
.
Passo 5
Para
ser derivável em
é preciso que a derivada à esquerda, que vale
, seja igual à derivada à direita, que é
. Assim
Resposta
a)
e
.
b) .
c)
d)
b)
c)
d)