Atenção: na questão 1, a seguir, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta a caneta no espaço indicado ao lado do item. O valor de cada item respondido é igual a 0,5 ou a
(-0,5), conforme a resposta coincida ou não com o gabarito. Itens deixados em branco, com marcação rasurada ou com dupla marcação terão valor igual a zero.
Suponha
uma função com derivadas
e
contínuas no intervalo
e tal que:
se
se
se
e
se
. Suponha ainda que
.
\begin{tabular}{|l|l|l}
\hline C & E & a) A função possui um único ponto crítico no intervalo
. \
\hline C & E & b) O ponto
é de máximo local. \
\hline C & E & c)
. \
\hline C & E & d) O gráfico da função não cruza o eixo
no intervalo
. \
\hline C & E & e) O gráfico da função não muda de concavidade.’
(-0,5), conforme a resposta coincida ou não com o gabarito. Itens deixados em branco, com marcação rasurada ou com dupla marcação terão valor igual a zero.
Suponha
\hline C & E & a) A função possui um único ponto crítico no intervalo
\hline C & E & b) O ponto
\hline C & E & c)
\hline C & E & d) O gráfico da função não cruza o eixo
\hline C & E & e) O gráfico da função não muda de concavidade.’
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos
com
contínua em
, tal que
e
contínua em
com
além de
. O conteúdo é análise de monotonicidade (para achar pontos críticos e máximos/minimos locais) e de concavidade (para inflexões), além do comportamento assintótico.
Passo 2
Como
é positiva em
e negativa em
, o único ponto em que
pode se anular é
. Pela continuidade de
, não há outro zero em
. Logo, há um único ponto crítico em
, que é
.
Para classificar : como
passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), concluímos que
é um máximo local.
Para classificar
Passo 3
Verificação de
para todo
:
- Se
, então em a função decresce de até o limite , o que faz ficar abaixo de para suficientemente grande. - Se
, então de fato (pois sobe até e depois decresce, mas sempre acima de ).
Como o enunciado não fixa o sinal de, a propriedade não vale necessariamente. Portanto a afirmação é errada.
Passo 4
Para
, temos
e
. Além disso, não pode ser
, senão a função decrescente permaneceria sempre
e não tenderia a
. Logo
e
decresce de um valor positivo até
, permanecendo sempre positiva em
. Assim o gráfico não cruza o eixo
nesse intervalo: afirmação verdadeira.
Passo 5
Como
muda de sinal em
(de negativo para positivo), há mudança de concavidade (inflexão) em
. Logo a frase “o gráfico não muda de concavidade” é falsa.
Resposta
a) C
b) C
c) E
d) C
e) E
b) C
c) E
d) C
e) E