Atenção: na questão 1, a seguir, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta a caneta no espaço indicado ao lado do item. O valor de cada item respondido é igual a 0,5 ou a
(-0,5), conforme a resposta coincida ou não com o gabarito. Itens deixados em branco, com marcação rasurada ou com dupla marcação terão valor igual a zero.
Suponha f:[0, infty) R uma função com derivadas f^prime(x) e f^prime prime(x) contínuas no intervalo (0, infty) e tal que: f^prime(x)>0 se 0<x<1 ; f^prime(x)<0 se x>1 ; f^prime prime(x)>0 se x>raiz3 e f^prime prime(x)<0 se 0<x<raiz3. Suponha ainda que lim x infty f(x)=0.
\begin{tabular}{|l|l|l}
\hline C & E & a) A função possui um único ponto crítico no intervalo (0, infty). \
\hline C & E & b) O ponto x=1 é de máximo local. \
\hline C & E & c) f(x) >= f(0) forall x >= 0. \
\hline C & E & d) O gráfico da função não cruza o eixo O x no intervalo (1, infty). \
\hline C & E & e) O gráfico da função não muda de concavidade.’

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos f:[0,infty)to R com f' contínua em (0,infty), tal que
f'(x)>0se 0<x<1, f'(x)<0se x>1,
e f'' contínua em (0,infty) com
f''(x)<0se 0<x<raiz3, f''(x)>0se x>raiz3,
além de limxtoinftyf(x)=0. O conteúdo é análise de monotonicidade (para achar pontos críticos e máximos/minimos locais) e de concavidade (para inflexões), além do comportamento assintótico.

Passo 2

Como f' é positiva em (0,1) e negativa em (1,infty), o único ponto em que f' pode se anular é x=1. Pela continuidade de f', não há outro zero em (0,infty). Logo, há um único ponto crítico em (0,infty), que é x=1.
Para classificar x=1: como f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), concluímos que x=1 é um máximo local.

Passo 3

Verificação de f(x)>= f(0) para todo x>=0:
  • Se f(0)>0, então em (1,infty) a função decresce de f(1)>0 até o limite 0, o que faz f(x) ficar abaixo de f(0) para x suficientemente grande.
  • Se f(0)<=0, então de fato f(x)>= f(0) (pois sobe até x=1 e depois decresce, mas sempre acima de 0>= f(0)).
    Como o enunciado não fixa o sinal de f(0), a propriedade não vale necessariamente. Portanto a afirmação é errada.

Passo 4

Para x>1, temos f'(x)<0 e limxtoinftyf(x)=0. Além disso, não pode ser f(1)<=0, senão a função decrescente permaneceria sempre <= f(1)<=0 e não tenderia a 0. Logo f(1)>0 e f decresce de um valor positivo até 0, permanecendo sempre positiva em (1,infty). Assim o gráfico não cruza o eixo x nesse intervalo: afirmação verdadeira.

Passo 5

Como f'' muda de sinal em x=raiz3 (de negativo para positivo), há mudança de concavidade (inflexão) em raiz3. Logo a frase “o gráfico não muda de concavidade” é falsa.

Resposta

a) C
b) C
c) E
d) C
e) E

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