4.3I Se
e
representam as coordenadas do centróide da região
, com densidade de massa
, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é o centróide de
com densidade unitária, então
Aqui vamos usar a definição do centróide e o Teorema de Green para transformar integrais duplas sobre
em integrais de linha sobre
.
Passo 2
Pela definição,
Logo
Passo 3
O Teorema de Green afirma que, para qualquer campo vetorial
suficientemente suave,
Vamos escolher campos
adequados para gerar as integrais
e
.
Passo 4
Para obter
, escolhemos
Então
e
. Pelo Teorema de Green,
isto é,
Portanto
e daí
Passo 5
Para obter
, escolhemos
Agora
e
. Aplica-se Green:
ou seja,
Logo