4.3I Se x0 e y0 representam as coordenadas do centróide da região D, com densidade de massa rho equiv 1, mostre que:
2 x0 A(D)=ointpartial D x^2 d y e y0 A(D)=ointpartial D x y d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (x0,y0) é o centróide de D com densidade unitária, então
2,x0,A(D)=ointpartial Dx^2,dy e y0,A(D)=ointpartial Dx,y,dy
Aqui vamos usar a definição do centróide e o Teorema de Green para transformar integrais duplas sobre D em integrais de linha sobre partial D.

Passo 2

Pela definição,
A(D)=integral duplaDdA, x0=1A(D)integral duplaDx,dA, y0=1A(D)integral duplaDy,dA
Logo
integral duplaDx,dA = x0,A(D), integral duplaDy,dA = y0,A(D)

Passo 3

O Teorema de Green afirma que, para qualquer campo vetorial (P,Q) suficientemente suave,
ointpartial DP,dx + Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Vamos escolher campos (P,Q) adequados para gerar as integrais integral duplaDx,dA e integral duplaDy,dA.

Passo 4

Para obter integral duplaDx,dA, escolhemos
P=0, Q=x^2
Então partial Q/partial x=2x e partial P/partial y=0. Pelo Teorema de Green,
ointpartial D0cdot dx + x^2,dy =integral duplaD2x,dA,
isto é,
ointpartial Dx^2,dy =2integral duplaDx,dA
Portanto
integral duplaDx,dA =12ointpartial Dx^2,dy Longrightarrow x0,A(D) =12ointpartial Dx^2,dy,
e daí
2,x0,A(D)=ointpartial Dx^2,dy

Passo 5

Para obter integral duplaDy,dA, escolhemos
P=0, Q=x,y
Agora partial Q/partial x=y e partial P/partial y=0. Aplica-se Green:
ointpartial D0cdot dx + x,y,dy =integral duplaDy,dA,
ou seja,
ointpartial Dx,y,dy =integral duplaDy,dA
Logo
y0,A(D)=integral duplaDy,dA =ointpartial Dx,y,dy

Resposta

2,x0,A(D)=ointpartial Dx^2,dy e y0,A(D)=ointpartial Dx,y,dy

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