Verifique o Teorema da Divergência no plano para os seguintes dados:
F(x, y)=x^2 i+y^2 j; D é a região delimitada por 4 x^2+25 y^2=100.

Passo 1

Resumindo, queremos verificar o Teorema da Divergência em R^2 para o campo
F(x,y) = x^2,i + y^2,j
e a região D limitada pela elipse
4x^2 + 25y^2 = 100
O teorema afirma
integral duplaD l(nabla!cdot!Fr),dA ;=; ointpartial D Fcdotn,ds,
ou, na forma usual de Green para fluxo,
integral duplaD l(partial Ppartial x+partial Qpartial yr)dA ;=; ointpartial D l(P,dy - Q,dxr),
onde P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=y^2.

Passo 2

Calculamos a divergência do campo:
nabla!cdot!F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) = 2x + 2y
Então
integral duplaD l(nabla!cdot!Fr),dA = 2integral duplaD x,dA + 2integral duplaD y,dA
Como D é a elipse centrada na origem e simétrica em x e em y, temos
integral duplaD x,dA = 0 e integral duplaD y,dA = 0.
Logo
integral duplaD l(nabla!cdot!Fr),dA = 0

Passo 3

Agora calculamos o fluxo pela fronteira partial D usando
ointpartial D (P,dy - Q,dx).
Parametrizamos a elipse por
x = 5cos t, y = 2sin t, tin[0,2pi],
de modo que
dx = -5sin t,dt, dy = 2cos t,dt
Então
P,dy - Q,dx = x^2,dy ;-; y^2,dx = (25cos^2 t)(2cos t,dt) ;-;(4sin^2 t)(-5sin t,dt)
= 50cos^3 t,dt ;+;20sin^3 t,dt
Integrando de 0 a 2pi:
ointpartial D (P,dy - Q,dx) = integral0^2pil(50cos^3 t + 20sin^3 tr)dt = 0,
pois cada integral de cos^3 t e de sin^3 t é zero sobre um período completo.

Passo 4

Concluímos que
integral duplaD (nabla!cdot!F),dA = 0 e ointpartial D Fcdotn,ds = 0
Portanto, os dois lados do Teorema da Divergência coincidem, verificando-o para este caso.

Resposta

Ambos os integras— integral duplaD(nabla!cdot!F),dA e ointpartial DFcdotn,ds—valem 0.

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