Verifique o Teorema da Divergência no plano para os seguintes dados:
;
é a região delimitada por
.
Passo 1
Resumindo, queremos verificar o Teorema da Divergência em
para o campo
e a região
limitada pela elipse
O teorema afirma
ou, na forma usual de Green para fluxo,
onde
e
.
Passo 2
Calculamos a divergência do campo:
Então
Como
é a elipse centrada na origem e simétrica em
e em
, temos
e
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora calculamos o fluxo pela fronteira
usando
.
Parametrizamos a elipse por
Parametrizamos a elipse por
de modo que
Então
Integrando de
a
:
pois cada integral de
e de
é zero sobre um período completo.
Passo 4
Concluímos que
Portanto, os dois lados do Teorema da Divergência coincidem, verificando-o para este caso.
Resposta
Ambos os integras—
e
—valem
.