4.3H Nas condições do exercício precedente e considerando v de classe C^1, mostre que:
integralpartial D(fx d y-fy d x) v=integral duplaD(vx fx+vy fy) d x d y

Passo 1

O enunciado considera um domínio DsubsetR^2 de fronteira lisa e orientada positivamente, uma função fin C^2(overline D) que satisfaz a condição do exercício precedente (isto é, ,fxx+fyy=0, ou seja, f é harmônica) e uma função vin C^1(overline D). Queremos mostrar que
integralpartial Dl(fx,dy - fy,dxr),v = integral duplaDl(vxfx + vyfyr),dx,dy

Passo 2

Defina o campo de vetores F=(P,Q) por
P(x,y) = -,v(x,y),fy(x,y), Q(x,y) = ;v(x,y),fx(x,y)
Então a integral de linha se escreve como
integralpartial DP,dx + Q,dy =integralpartial D l(-v,fy,dx + v,fx,dyr) =integralpartial Dv,(fx,dy - fy,dx)

Passo 3

Pelo Teorema de Green, como P,Qin C^1(overline D), temos
integralpartial DP,dx + Q,dy =integral duplaDl(Qx - Pyr),dx,dy

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
Qx = l(v,fxr)x = vx,fx + v,fxx, Py = l(-v,fyr)y = -,vy,fy - v,fyy
Logo
Qx - Py = vx,fx + v,fxx ;+;vy,fy + v,fyy = vx,fx + vy,fy ;+; v,(fxx+fyy)

Passo 5

Como f é harmônica, temos ,fxx+fyy=0. Portanto
Qx - Py = vx,fx + vy,fy
Substituindo em Green, vem
integralpartial Dv,(fx,dy - fy,dx) = integral duplaDl(vx,fx + vy,fyr),dx,dy

Resposta

boxed integralpartial Dl(fx,dy - fy,dxr),v = integral duplaDl(vxfx + vyfyr),dx,dy

Exercícios relacionados