4.3J Considerando
na Fórmula de Gauss, sendo
de classe
, deduza a relação:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função
de classe
num domínio planar
com fronteira suave
, vale
Aqui o conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Fórmula de Gauss) em
aplicado ao campo vetorial
.
Passo 2
Recordando o Teorema da Divergência em
: se
é um campo vetorial de classe
em
, então
onde
é o versor unitário normal externo à fronteira
.
Passo 3
Escolhemos
. Como
, temos
e podemos aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 4
Calculemos os dois lados:
- Divergência de
:
- Produto escalar na fronteira:
que é a derivada direcional de
ao longo da normal externa.
Passo 5
Substituindo esses resultados na Fórmula de Gauss, obtemos exatamente