4.3J Considerando F=nabla u na Fórmula de Gauss, sendo u de classe C^2, deduza a relação:
integral duplaD De<a u d x d y=ointpartial D partial upartial eta d s

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função u de classe C^2 num domínio planar D com fronteira suave partial D, vale
integral duplaD De<a u ,dx,dy ;=;ointpartial D partial upartial veceta,ds
Aqui o conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Fórmula de Gauss) em R^2 aplicado ao campo vetorial nabla u.

Passo 2

Recordando o Teorema da Divergência em R^2: se vec F é um campo vetorial de classe C^1 em Dcuppartial D, então
integral duplaD l(nablacdotvec Fr),dx,dy ;=; ointpartial D vec Fcdotveceta,ds,
onde veceta é o versor unitário normal externo à fronteira partial D.

Passo 3

Escolhemos vec F = nabla u. Como uin C^2, temos vec Fin C^1 e podemos aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 4

Calculemos os dois lados:
  1. Divergência de vec F:
nablacdotvec F = nablacdot(nabla u) = De<a u
  1. Produto escalar na fronteira:
vec Fcdotveceta = nabla ucdotveceta = partial upartial veceta,
que é a derivada direcional de u ao longo da normal externa.

Passo 5

Substituindo esses resultados na Fórmula de Gauss, obtemos exatamente
integral duplaD De<a u,dx,dy ;=; ointpartial D partial upartial veceta,ds

Resposta

integral duplaD De<a u ,dx,dy ;=; ointpartial D partial upartial veceta,ds

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