4.3K Com auxílio da Regra do Produto para derivação, obtenha a seguinte propriedade para o divergente:
Agora, considere na Fórmula de Gauss
e deduza a identidade:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, usar a regra do produto para derivação a fim de mostrar que
Depois, aplicando a fórmula de Gauss ao campo
, devemos deduzir a Identidade de Green:
Vamos precisar do conceito de divergente, do laplaciano
, da regra do produto para divergente e do Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).
Passo 2
Lembrando a regra do produto para divergente de um escalar
vezes um vetor
:
Aqui
, pois o divergente do gradiente é o laplaciano. Logo concluímos
Passo 3
O Teorema de Gauss em duas dimensões afirma que, para um campo vetorial
,
onde
é o vetor normal exterior à fronteira
.
Passo 4
Escolhendo
, a aplicação do Teorema de Gauss dá
Passo 5
Substituindo a expressão do Passo 2 no integrando à esquerda:
Mas
é justamente a derivada normal
.