4.3K Com auxílio da Regra do Produto para derivação, obtenha a seguinte propriedade para o divergente:
nabla cdot(v nabla u)=v De<a u+nabla u cdot nabla v
Agora, considere na Fórmula de Gauss F=v nabla u e deduza a identidade:
Identidade de Green: integral duplaD v De<a u d x d y+integral duplaD nabla u cdot nabla v d x d y=ointpartial D v partial upartial eta d s

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, usar a regra do produto para derivação a fim de mostrar que
nablacdotl(vnabla ur)=v,De<a u+nabla ucdotnabla v
Depois, aplicando a fórmula de Gauss ao campo vec F=vnabla u, devemos deduzir a Identidade de Green:
integral duplaDv,De<a u,dx,dy+integral duplaDnabla ucdotnabla v,dx,dy =ointpartial Dv,partial upartialveceta,ds
Vamos precisar do conceito de divergente, do laplaciano De<a, da regra do produto para divergente e do Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).

Passo 2

Lembrando a regra do produto para divergente de um escalar v vezes um vetor nabla u:
nablacdotl(vnabla ur) =;v,l(nablacdotnabla ur);+;nabla ucdotnabla v
Aqui nablacdotnabla u=De<a u, pois o divergente do gradiente é o laplaciano. Logo concluímos
nablacdotl(vnabla ur) = v,De<a u + nabla ucdotnabla v

Passo 3

O Teorema de Gauss em duas dimensões afirma que, para um campo vetorial vec F,
integral duplaDnablacdotvec F,dx,dy =ointpartial Dvec Fcdotvec n,ds,
onde vec n é o vetor normal exterior à fronteira partial D.

Passo 4

Escolhendo vec F=vnabla u, a aplicação do Teorema de Gauss dá
integral duplaDnablacdotl(vnabla ur),dx,dy =ointpartial Dl(vnabla ur)cdotvec n,ds

Passo 5

Substituindo a expressão do Passo 2 no integrando à esquerda:
integral duplaDl(v,De<a u + nabla ucdotnabla vr),dx,dy =ointpartial Dv,l(nabla ucdotvec nr),ds
Mas nabla ucdotvec n é justamente a derivada normal partial u/partialveceta.

Resposta

nablacdotl(vnabla ur)=v,De<a u+nabla ucdotnabla v,
boxedintegral duplaDv,De<a u,dx,dy+integral duplaDnabla ucdotnabla v,dx,dy =ointpartial Dv,partial upartialveceta,ds

Exercícios relacionados