6.3J Verifique que as funções
e
são soluções da edo homogênea:
e usando o MVP encontre a solução geral da edo não homogênea:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro verificar que
e
são soluções da equação homogênea
e depois, usando o método de variação de parâmetros, encontrar a solução geral da equação não homogênea
O conteúdo principal aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis e aplicação de variação de parâmetros.
Passo 2
Verificamos que
e
satisfazem a homogênea.
Para :
,
. Substituindo,
Para
Para
:
,
. Substituindo,
Logo ambos são soluções da homogênea.
Passo 3
Formamos o Wronskiano para garantir independência linear:
Em seguida colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo por
l(t^2-1r) obtemos
Aqui
R(t)=t^2-1 .
]
]
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que uma particular
xp se escreve
com
Substituindo
x1,x2,R,W :
Passo 5
Calculamos
Integrando,
Passo 6
A solução particular fica
Desenvolvendo e somando termos semelhantes,
Portanto a solução geral da não homogênea é