6.3J Verifique que as funções x1(t)=t e x2(t)=1+t^2 são soluções da edo homogênea:
(t^2-1) ddotx-2 t dotx+2 x=0
e usando o MVP encontre a solução geral da edo não homogênea:
(t^2-1) ddotx-2 t dotx+2 x=(1-t^2)^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro verificar que
;x1(t)=t; e ;x2(t)=1+t^2; são soluções da equação homogênea
l(t^2-1r),ddot x-2t,dot x+2x=0,
e depois, usando o método de variação de parâmetros, encontrar a solução geral da equação não homogênea
l(t^2-1r),ddot x-2t,dot x+2x=(1-t^2)^2
O conteúdo principal aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis e aplicação de variação de parâmetros.

Passo 2

Verificamos que x1(t)=t e x2(t)=1+t^2 satisfazem a homogênea.
Para x1(t)=t:
dot x1=1, ddot x1=0. Substituindo,
l(t^2-1r)cdot0 ;-;2tcdot1;+;2t =;-2t+2t=0
Para x2(t)=1+t^2:
dot x2=2t, ddot x2=2. Substituindo,
l(t^2-1r)cdot2;-;2tcdot2t;+;2(1+t^2) =2t^2-2-4t^2+2+2t^2=0
Logo ambos são soluções da homogênea.

Passo 3

Formamos o Wronskiano para garantir independência linear:
W(t)= x1&x2[6pt] dot x1&dot x2 = t & 1+t^2[3pt] 1 & 2t =2t^2-(1+t^2)=t^2-1neq0(para tneqpm1)
Em seguida colocamos a EDO na forma padrão
x''+P(t),x'+Q(t),x=R(t)
Dividindo por l(t^2-1r) obtemos
x''-2tt^2-1x'+2t^2-1x =(1-t^2)^2t^2-1 =t^2-1
Aqui R(t)=t^2-1.
]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que uma particular xp se escreve
xp=u1(t),x1(t)+u2(t),x2(t),
com
u1'=-x2,RW, u2'= x1,RW
Substituindo x1,x2,R,W:

Passo 5

Calculamos
u1'=-(1+t^2)(t^2-1)t^2-1=-,(1+t^2), u2'=t,(t^2-1)t^2-1=t
Integrando,
u1(t)=-integral(1+t^2),dt=-l(t+t^33r), u2(t)=integral t,dt=t^22

Passo 6

A solução particular fica
xp =u1,x1+u2,x2 =-l(t+t^33r),t +t^22,(1+t^2)
Desenvolvendo e somando termos semelhantes,
xp =-t^2-t^43 +t^22+t^42 =t^46-t^22
Portanto a solução geral da não homogênea é
x(t)=C1,x1(t)+C2,x2(t)+xp(t) =C1,t+C2(1+t^2)+t^46-t^22

Resposta

boxed x(t)=C1,t+C2(1+t^2)+t^46-t^22

Exercícios relacionados