é derivável em x=-2. O conteúdo é derivabilidade de funções definidas por valor absoluto e, para isso, vamos reescrever f em forma piecewise e comparar as derivadas laterais em x=-2.
Passo 2
Identificamos que o valor absoluto muda de expressão quando o argumento zera, ou seja, quando
x^2-4=0Longrightarrow x=pm2
Em particular, em torno de x=-2 há duas regiões:
para x< -2, temos x^2-4>0,
para -2< x<2, temos x^2-4<0.
Passo 3
Reescrevendo f de modo piecewise:
Para x< -2 (ou lvert xrvert>2):
f(x)=x^2-4+1=x^2-3
Para -2< x<2:
f(x)=-(x^2-4)+1=-x^2+5
Note que em x=-2 ambas as expressões dão
(-2)^2-3=4-3=1 e -(-2)^2+5=-4+5=1,
então f é contínua em x=-2.
Passo 4
Calculamos a derivada lateral pela esquerda em x=-2. Na região x< -2 vale
f'(x)=2x,
portanto
f'-(-2)=2cdot(-2)=-4
Passo 5
Calculamos a derivada lateral pela direita em x=-2. Na região -2< x<2 vale
f'(x)=-2x,
então
f'+(-2)=-2cdot(-2)=4
Passo 6
As derivadas laterais são
f'-(-2)=-4 neq f'+(-2)=4,
logo não coincidem. Portanto, a derivada de f não existe em x=-2.