Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime prime+y^prime=sec x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y''' + y' = sec x
usando o Método de Variação dos Parâmetros. É uma EDO linear de 3ª ordem não homogênea com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''' + y' = 0
A equação característica é
r^3 + r = r,(r^2+1)=0,
cuja raízes são r1=0, r2=i, r3=-i. Logo uma base de soluções é
y1(x)=1, y2(x)=cos x, y3(x)=sin x

Passo 3

No método de variação dos parâmetros procuramos
yp(x)=u1(x),y1 + u2(x),y2 + u3(x),y3
com as condições
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = sec x
Como y1=1, y1'=0, y1''=0, y2=cos x, y2'=-sin x, y2''=-cos x, y3=sin x, y3'=cos x, y3''=-sin x, o sistema vira
u1' + u2'cos x + u3'sin x = 0, -,u2'sin x + u3'cos x = 0, -,u2'cos x - u3'sin x = sec x

Passo 4

Do segundo item -u2'sin x+u3'cos x=0 segue u3'=u2'tan x. Substituindo no primeiro dá
u1' + u2'(cos x + sin xtan x)=0 ;Longrightarrow; u1' + u2'cos^2x+sin^2xcos x=0 ;Longrightarrow; u1' + u2'cos x=0
Do terceiro item -u2'cos x - u3'sin x=sec x obtemos
-,u2'cos x - u2'tan xsin x = sec x ;Longrightarrow; -,u2'cos^2x+sin^2xcos x=sec x ;Longrightarrow; u2'=-1
Logo
u3' = -tan x, u1' = -u2'cos x = 1cos x = sec x
Integramos:
u1(x)=integral sec x,dx = lnl|sec x+tan xr|, u2(x)=integral(-1),dx = -x, u3(x)=integral(-tan x),dx = lnl|cos xr|

Passo 5

A solução particular é
yp = u1cdot1 + u2cos x + u3sin x = lnl|sec x+tan xr| - xcos x + sin x,lnl|cos xr|

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 + C2cos x + C3sin x + lnl|sec x+tan xr| - xcos x + sin x,lnl|cos xr|

Resposta

y(x) = C1 + C2cos x + C3sin x + lnl|sec x+tan xr| - xcos x + sin x,lnl|cos xr|

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