Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo. .
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
usando o Método de Variação dos Parâmetros. É uma EDO linear de 3ª ordem não homogênea com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução da parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cuja raízes são , , . Logo uma base de soluções é
Passo 3
No método de variação dos parâmetros procuramos
com as condições
Como y1=1, y1'=0, y1''=0, y2=cos x, y2'=-sin x, y2''=-cos x, y3=sin x, y3'=cos x, y3''=-sin x, o sistema vira
u1' + u2'cos x + u3'sin x = 0, -,u2'sin x + u3'cos x = 0, -,u2'cos x - u3'sin x = sec x
Passo 4
Do segundo item -u2'sin x+u3'cos x=0 segue u3'=u2'tan x. Substituindo no primeiro dá
u1' + u2'(cos x + sin xtan x)=0 ;Longrightarrow; u1' + u2'cos^2x+sin^2xcos x=0 ;Longrightarrow; u1' + u2'cos x=0
Do terceiro item -u2'cos x - u3'sin x=sec x obtemos
-,u2'cos x - u2'tan xsin x = sec x ;Longrightarrow; -,u2'cos^2x+sin^2xcos x=sec x ;Longrightarrow; u2'=-1