Determine as equações da reta tangente e da reta normal à f no ponto p, onde:
f(x)=x^2, p=2,

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto cujo x-valor é p=2. O conteúdo aqui é derivada de função em um ponto, que nos dá o coeficiente angular da reta tangente, e a relação entre coeficientes angulares da tangente e da normal, que é mn=-1/mt.

Passo 2

Primeiro identificamos as coordenadas do ponto de tangência P. Como p=2, temos
f(2)=2^2=4,
logo P=(2,4).

Passo 3

Calculamos a derivada de f(x)=x^2 usando a regra do expoente:
f'(x)=2x
O coeficiente angular da reta tangente em x=2 é
mt = f'(2) = 2cdot 2 = 4

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-coeficiente para a reta tangente:
y - y0 = mt,(x - x0)
Substituindo P=(2,4) e mt=4,
y - 4 = 4(x - 2)
que simplifica a
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do recíproco de mt:
mn = -1mt = -14
Aplicando de novo a fórmula ponto-coeficiente com P=(2,4),
y - 4 = -14(x - 2)
e daí
y = -14x + 24 + 4 = -14x + 12 + 4 = -14x + 92

Resposta

Reta tangente: y = 4x - 4.
Reta normal: y = -tfrac14x + tfrac92.

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