4.3L Se De<a u=0 na região D, usando v=u na Identidade de Green, mostre que:
integral duplaD|nabla u|^2 d x d y=ointpartial D u partial upartial eta d s

Passo 1

O enunciado diz que u é uma função duas vezes diferenciável em D (e suficientemente regular até a fronteira partial D) e satisfaz
De<a u = 0em D,
ou seja, u é harmônica em D. Queremos mostrar
integral duplaD|nabla u|^2,dx,dy = ointpartial Du,partial upartial veceta,ds,
onde veceta é o vetor normal unitário exterior a partial D.
O conteúdo principal é a Identidade de Green, que liga integrais de domínio a integrais de fronteira.

Passo 2

A Primeira Identidade de Green afirma que, para funções suficientemente regulares u e v,
integral duplaDl(u,De<a v + nabla ucdotnabla vr),dx,dy = ointpartial Du,partial vpartial veceta,ds

Passo 3

Escolhendo v=u na identidade acima, temos
integral duplaDl(u,De<a u + nabla ucdotnabla ur),dx,dy = ointpartial Du,partial upartial veceta,ds
Aqui nabla ucdotnabla u = |nabla u|^2, de modo que
integral duplaDl(u,De<a u + |nabla u|^2r),dx,dy = ointpartial Du,partial upartial veceta,ds

Passo 4

Como u é harmônica em D, temos De<a u=0 em D. Logo o termo
integral duplaDu,De<a u,dx,dy
é zero, e sobra exatamente
integral duplaD|nabla u|^2,dx,dy = ointpartial Du,partial upartial veceta,ds,
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

integral duplaD|nabla u|^2,dx,dy = ointpartial Du,partial upartial veceta,ds

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