4.3L Se
na região
, usando
na Identidade de Green, mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função duas vezes diferenciável em
(e suficientemente regular até a fronteira
) e satisfaz
ou seja,
é harmônica em
. Queremos mostrar
onde
é o vetor normal unitário exterior a
.
O conteúdo principal é a Identidade de Green, que liga integrais de domínio a integrais de fronteira.
O conteúdo principal é a Identidade de Green, que liga integrais de domínio a integrais de fronteira.
Passo 2
A Primeira Identidade de Green afirma que, para funções suficientemente regulares
e
,
Passo 3
Escolhendo
na identidade acima, temos
Aqui
, de modo que
Passo 4
Como
é harmônica em
, temos
em
. Logo o termo
é zero, e sobra exatamente
que era o que queríamos demonstrar.