6.3N Mostre que as funções sen e são soluções LI da , embora o wronskiano seja nulo em . Por que isso não contradiz os fatos teóricos (Observação 6.1.10)?
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
e pede para mostrar que e
são soluções linearmente independentes (LI), embora o wronskiano anule-se em . Vamos:
Verificar que cada satisfaz a EDO.
Calcular o wronskiano .
Justificar por que não contradiz a teoria.
Passo 2
Verificação para .
Substituindo em :
Logo satisfaz a EDO.
Passo 3
Verificação para .
Substituindo em :
Logo também satisfaz a EDO.
Passo 4
Cálculo do wronskiano
Passo 5
Para xneq0 temos W(x)=-2xneq0, portanto sin(x^2) e cos(x^2) são LI em qualquer intervalo que não contenha zero. Elas formam assim um par fundamental de soluções.
Passo 6
Em x=0 o wronskiano anula-se, mas não há contradição com o teorema de Abel, pois ele exige que o coeficiente do termo y'' (aqui x) seja contínuo e não nulo no ponto em questão. Como x=0 é ponto singular da EDO, as conclusões sobre o wronskiano naquele ponto não se aplicam.
Resposta
sin(x^2) e cos(x^2) são soluções LI de
x,y''-y'+4x^3y=0,
o wronskiano é W(x)=-2x (nulo em x=0) e isso não contradiz a teoria porque x=0 é ponto singular da equação.