6.3N Mostre que as funções sen x^2 e cos x^2 são soluções LI da e d o x y^prime prime-y^prime+4 x^3 y=0, embora o wronskiano seja nulo em x=0. Por que isso não contradiz os fatos teóricos (Observação 6.1.10)?

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
x,y''-y'+4x^3y=0
e pede para mostrar que
,y1(x)=sin(x^2) e ,y2(x)=cos(x^2)
são soluções linearmente independentes (LI), embora o wronskiano anule-se em x=0. Vamos:
  1. Verificar que cada yi satisfaz a EDO.
  2. Calcular o wronskiano W(y1,y2).
  3. Justificar por que W(0)=0 não contradiz a teoria.

Passo 2

Verificação para y1=sin(x^2).
y1'=2xcos(x^2), y1''=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2)
Substituindo em x,y1''-y1'+4x^3y1:
xl(2cos(x^2)-4x^2sin(x^2)r) -2xcos(x^2) +4x^3sin(x^2) =0
Logo y1 satisfaz a EDO.

Passo 3

Verificação para y2=cos(x^2).
y2'=-2xsin(x^2), y2''=-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)
Substituindo em x,y2''-y2'+4x^3y2:
x(-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)) -(-2xsin(x^2)) +4x^3cos(x^2) =0
Logo y2 também satisfaz a EDO.

Passo 4

Cálculo do wronskiano
W(x)= sin(x^2) & cos(x^2) 2xcos(x^2) & -2xsin(x^2) =-2xl(sin^2(x^2)+cos^2(x^2)r) =-2x

Passo 5

Para xneq0 temos W(x)=-2xneq0, portanto sin(x^2) e cos(x^2) são LI em qualquer intervalo que não contenha zero. Elas formam assim um par fundamental de soluções.

Passo 6

Em x=0 o wronskiano anula-se, mas não há contradição com o teorema de Abel, pois ele exige que o coeficiente do termo y'' (aqui x) seja contínuo e não nulo no ponto em questão. Como x=0 é ponto singular da EDO, as conclusões sobre o wronskiano naquele ponto não se aplicam.

Resposta

sin(x^2) e cos(x^2) são soluções LI de
x,y''-y'+4x^3y=0,
o wronskiano é W(x)=-2x (nulo em x=0) e isso não contradiz a teoria porque x=0 é ponto singular da equação.

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