Obtenha f^prime(p) para:
f(x)=tg(x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,f(x)=tan(x) no ponto x=p. O conteúdo que vamos aplicar envolve a regra do quociente para derivadas e a identidade trigonométrica sin^2(x)+cos^2(x)=1.

Passo 2

Escrevemos
tan(x)=sin(x)cos(x),
e usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Identificamos
u(x)=sin(x), v(x)=cos(x),
cuja derivadas são
u'(x)=cos(x), v'(x)=-sin(x)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =cos(x),cos(x)-sin(x),(-sin(x))cos^2(x) =cos^2(x)+sin^2(x)cos^2(x) =1cos^2(x) =sec^2(x)

Passo 5

Por fim, para avaliar em x=p basta substituir x por p:
f'(p)=sec^2(p)

Resposta

f'(p)=sec^2(p)

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