Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por {\operatorname{sen}(x), \cos (x)}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=spansin(x),cos(x) e a transformação linear
Dcolon Vto V, D(f)=dfdx
Para representar D na base ordenada B=(sin(x),cos(x)), precisamos expressar D(sin x) e D(cos x) como combinações lineares de sin(x) e cos(x).

Passo 2

Calculemos
Dl(sin(x)r)=cos(x)
Em coordenadas na base B, isso é
cos(x)=0cdotsin(x)+1cdotcos(x)
Logo, a primeira coluna da matriz de D em B é
01

Passo 3

Calculemos
Dl(cos(x)r)=-sin(x)
Em coordenadas na base B, isso é
-sin(x)=(-1)cdotsin(x)+0cdotcos(x)
Logo, a segunda coluna da matriz de D em B é
-10
Portanto,
[D]B = 0 & -1 1 & 0

Passo 4

Para D^2, aplicamos D duas vezes.
D^2l(sin(x)r)=Dl(cos(x)r)=-sin(x), D^2l(cos(x)r)=Dl(-sin(x)r)=-cos(x)
Em coordenadas na base B:
-sin(x)=-10, -cos(x)=0-1
Logo,
[D^2]B = -1 & 0 0 & -1 = -I

Resposta

A matriz de D na base sin(x),cos(x) é
[D]B = 0 & -11 & 0,
e a de D^2 é
[D^2]B = -1 & 00 & -1

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