Considere a função
Mostre que
tem derivadas de
e
ordem em
, mas não tem derivada de
ordem.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que em
existem
e
, mas não existe
. O conteúdo envolve as definições de derivada de ordem
em um ponto via limite do quociente incremental, conferindo existência dos limites laterais.
Passo 2
Antes de tudo, verificamos a continuidade em
, pois é condição necessária para derivabilidade.
e
. Logo
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira em
pela definição
Para
temos
e para
temos
. Como os dois lados dão
, existe
Passo 4
Em seguida, usamos a derivada já obtida para calcular a segunda derivada em
:
Mas para
temos
, logo
. Para
temos
, logo
. Como ambos os lados valem
, existe
Passo 5
Finalmente, tentamos a terceira derivada em
:
Precisamos de
em cada ramo: para
,
, então
. Para
,
, então
. Os limites laterais são diferentes (6 e 0), logo não existe
.