Considere a função f(x)=lx^3, se x <= 0, x^4, se x>0 Mostre que f tem derivadas de 1^a e 2^a ordem em x=0, mas não tem derivada de 3^a ordem.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3, & se x<=0, x^4, & se x>0,
e pede para mostrar que em x=0 existem f'(0) e f''(0), mas não existe f'''(0). O conteúdo envolve as definições de derivada de ordem n em um ponto via limite do quociente incremental, conferindo existência dos limites laterais.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos a continuidade em 0, pois é condição necessária para derivabilidade.
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^3=0, limxto0^+f(x)=limxto0^+x^4=0,
e f(0)=0^3=0. Logo f é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira em 0 pela definição
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0 =limxto0f(x)x
Para x<0 temos tfracx^3x=x^2to0 e para x>0 temos tfracx^4x=x^3to0. Como os dois lados dão 0, existe
f'(0)=0

Passo 4

Em seguida, usamos a derivada já obtida para calcular a segunda derivada em 0:
f''(0)=limxto0f'(x)-f'(0)x-0 =limxto0f'(x)x
Mas para x<0 temos f'(x)=(x^3)'=3x^2, logo tfrac3x^2x=3xto0. Para x>0 temos f'(x)=(x^4)'=4x^3, logo tfrac4x^3x=4x^2to0. Como ambos os lados valem 0, existe
f''(0)=0

Passo 5

Finalmente, tentamos a terceira derivada em 0:
f'''(0)=limxto0f''(x)-f''(0)x-0 =limxto0f''(x)x
Precisamos de f''(x) em cada ramo: para x<0, f''(x)=(3x^2)'=6x, então tfrac6xx=6. Para x>0, f''(x)=(4x^3)'=12x^2, então tfrac12x^2x=12xto0. Os limites laterais são diferentes (6 e 0), logo não existe f'''(0).

Resposta

f'(0)=0, f''(0)=0 existem, e f'''(0) não existe.

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