3n Questão: (Valor: 3,0) 0 亿7
Uma oscilação se dá segundo a equação diferencial
2 d^2 xd t^2=-0,4 d xd t-8 x(mks)
O bloco é puxado 12,0 cm para baixo e liberado. (a) ( 0.3 ) Classifique esta oscilação. (b) (e.7) Escreva a função horária da posição para este movimento. (c) (1.0) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilaçōes resultantes diminua para um terço do valor inicial. (d) (1.0) Quantas oscilaçõeś o bloco realiza neste intervalo de tempo?
Dados: x(t)=A cos (omega0 t+varphi) , x(t)=A e^-gamma t / 2 cos (omega t+varphi), onde omega=raizomega0^2-gamma^24 , x(t)=e^-gamma t2(A+B t) , x(t)=e^-gamma t2(A e^beta t+B e^-beta t), onde beta=raizgamma^24-omega0^2

Passo 1

Tranquilo? Então olha só: a gente tem uma mola amortecida com equação
2d^2xdt^2=-0.4dxdt-8x
O que pedem:
(a) classificar o amortecimento;
(b) escrever a função horária x(t);
(c) achar o tempo pra amplitude cair a um terço;
(d) contar quantas oscilações rolam nesse tempo.
Matéria: oscilações amortecidas, solução de EDO de 2ª ordem, condições iniciais, decaimento exponencial.

Passo 2

Dividindo por 2, fica
d^2xdt^2+0.2dxdt+4x=0
Logo gamma=0.2 e omega0^2=4 ( omega0=2). Como gamma^2/4=0.01<4, dá caso subamortecido (vibração com decaimento exponencial).

Passo 3

No subamortecido a solução é
x(t)=A,e^-gamma t/2cos(omega t+varphi),
com
omega=raizomega0^2-gamma^2/4=raiz4-0.01approx1.9975.
Condições iniciais: puxaram 0,12 m pra baixo ( x(0)=0.12) e largaram parado ( dot x(0)=0).
Substituindo em x(0):
Acosvarphi=0.12
Para a derivada,
dot x(t)=A,e^-gamma t/2l[-tfracgamma2cos(omega t+varphi)-omegasin(omega t+varphi)r],
em t=0
-tfracgamma2Acosvarphi - Aomegasinvarphi=0,
de onde
tanvarphi=-(gamma/2)/omegaapprox-0.05,
logo varphiapprox-0.05 rad e
A=0.12/cosvarphiapprox0.12015 m.

Passo 4

Função horária final:
x(t)=0.12015,e^-0.1tcosl(1.9975,t-0.05r)(m)

Passo 5

A amplitude decai como A0e^-0.1t. Para A(t)=A0/3:
e^-0.1t=tfrac13 Rightarrow t=ln30.1approx10.99 s

Passo 6

Período da oscilação:
T=2piomegaapprox2pi1.9975approx3.146 s
Número de oscilações em t:
N=tTapprox10.993.146approx3.49

Resposta

(a) Oscilação subamortecida.
(b) x(t)=0.12015,e^-0.1tcosl(1.9975,t-0.05r) m.
(c) tapprox10,99 s.
(d) Aproximadamente 3,49 oscilações.

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