38^ a Questão

No porto de Itaqui, no Maranhão, é observado que a maré faz com que a superfície do mar oscile de uma distância d num movimento harmônico simples cujo período é de 6h. Considerando o ângulo de fase inicial nulo, o tempo para que a água desça de uma distância d4, em relação a crista do movimento (preamar), é igual a:
(a) 0,2 h
(b) 0,4 h
(c) 0,6 h
(d) 0,8 h
(e) 1,0 h

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um movimento harmônico simples (MHS) que representa a oscilação da maré no porto de Itaqui. Esse movimento tem uma amplitude de d e um período de 6 horas. A pergunta quer saber quanto tempo leva para a água descer d4 a partir da crista do movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do MHS e entender um pouco sobre como a posição varia com o tempo nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral do movimento harmônico simples:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • x(t) é a posição no tempo t,
  • A é a amplitude,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
No nosso caso, sabemos que a amplitude A = d, o período T = 6 horas, e a fase inicial phi = 0.

Passo 3

Vamos encontrar a frequência angular omega. Sabemos que:
omega = 2piT
Substituindo T = 6 horas:
omega = 2pi6 = pi3 , rad/h

Passo 4

Agora, queremos achar o tempo t em que a posição x(t) seja 3d4 . Por quê? Porque a crista do movimento é d, e descendo d4 , a posição fica:
x(t) = d - d4 = 3d4
Então, vamos igualar na equação do MHS:
3d4 = d cos(pi3 t)

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por d:
34 = cos(pi3 t)
Agora, queremos encontrar o tempo t que satisfaz essa igualdade.

Passo 6

Para resolver cos(pi3 t) = 34, vamos usar a função arco cosseno:
pi3 t = cos^-1(34)
Então,
t = 3pi cos^-1(34)

Passo 7

Agora, vamos calcular cos^-1(34). Usando uma calculadora:
cos^-1(34) approx 0,7227 , rad
Então,
t = 3pi times 0,7227 approx 2,16813,1416 approx 0,69 , horas

Passo 8

Arredondando para uma das opções fornecidas, 0,69 horas está mais próximo de 0,6 horas.

Resposta

A resposta correta é a letra c) 0,6 h.

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