6.3P Considere a e d o :
y^prime prime+a(x) y=b(x)
sendo a(x) e b(x) funções deriváveis. Se y1(x) e y2(x) são soluções LI da edo homogênea associada, mostre que a solução geral da edo não homogênea vem dada por:
y(x)=-y1(x) integral y2(x) b(x) d x+y2(x) integral y1(x) b(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
y'' + a(x),y = b(x)
sabendo que duas soluções linearmente independentes da homogênea associada
y'' + a(x),y = 0
são y1(x) e y2(x).
O conteúdo que vamos usar é o método de variação de parâmetros (ou constantes), que consiste em buscar uma solução particular da forma
yp(x)=u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)
com u1 e u2 funções a determinar.

Passo 2

Primeiro impomos a condição
u1'(x),y1(x) + u2'(x),y2(x) = 0
para simplificar a expressão da primeira derivada de yp. Dessa forma,
yp' = u1,y1' + u2,y2'
e, derivando novamente,
yp'' = u1',y1' + u2',y2' + u1,y1'' + u2,y2''

Passo 3

Substituindo em y''+a(x)y=b(x) e usando que y1 e y2 satisfazem y''+a,y=0, sobra
u1'(x),y1'(x) + u2'(x),y2'(x)=b(x)
Assim obtemos um sistema para u1' e u2':
u1',y1 + u2',y2 = 0, u1',y1' + u2',y2' = b(x)

Passo 4

O determinante desse sistema é o Wronskiano
W(x)= y1 & y2 y1'& y2' = y1,y2' - y1',y2
Pela regra de Cramer,
u1'(x) = -,y2(x),b(x)W(x), u2'(x) = y1(x),b(x)W(x)

Passo 5

Nesta EDO o termo em y' é zero, logo pelo teorema de Abel temos W'(x)=0 e W(x) é constante. Esse fator constante pode ser absorvido em cada integral indefinida sem alterar a forma geral da solução. Assim podemos escrever diretamente
u1'(x) = -,y2(x),b(x), u2'(x) = y1(x),b(x)

Passo 6

Integrando e substituindo em yp = u1,y1 + u2,y2 fica
yp(x) = -,y1(x)!integral y2(x),b(x),dx + y2(x)!integral y1(x),b(x),dx
Como são integrais indefinidas, cada uma carrega uma constante de integração, o que gera também as combinações lineares com y1 e y2 típicas da parte homogênea. Portanto essa expressão já fornece a solução geral da EDO não-homogênea.

Resposta

y(x)=-,y1(x)integral y2(x),b(x),dx + y2(x)integral y1(x),b(x),dx

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