Obtenha f^prime(p) para:
f(x)=cosec(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=csc(x) no ponto x=p. O conteúdo é derivação de funções trigonométricas, usando a definição de csc(x)=1/sin(x) e a regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=1sin(x),
então, pela regra do quociente, com u(x)=1 e v(x)=sin(x), temos
u'(x)=0, v'(x)=cos(x),
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =0cdotsin(x)-1cdotcos(x)sin^2(x) =-cos(x)sin^2(x)

Passo 3

Reescrevendo -cos(x)sin^2(x) em termos de csc e cot:
cos(x)sin(x)=cot(x), 1sin(x)=csc(x),
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f'(x)=-csc(x),cot(x)

Passo 4

Basta avaliar em x=p:
f'(p) = -csc(p),cot(p)

Resposta

f'(p) = -csc(p),cot(p)

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