Exercício 12. (Apostol seção 2.8 exercício 31) Seja P o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definimos R, T e S: P P por
R(p)(x)=p(0) S(sumk=0^n ak x^k)=sumk=1^n ak x^k-1 T(sumk=0^n ak x^k)=sumk=0^n ak x^k+1
  1. Seja p(x)=2+3 x-x^2+x^3 e determine a imagem de p sobre os operadores R, S, T, S T, T S,(T S)^2, T^2 S^2, S^2 T^2, T R S, R S T.
  2. Prove que R, S e T são lineares e determine o núcleo e a imagem destas transformações lineares.
  3. Prove que T é injetor e ache uma transformação linear Q: P P tal que Q T=I, em que I é a identidade.
  4. Se n >= 1, escreva (T S)^n e S^n T^n em função de I e R.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial P de todos os polinômios reais e define as transformações
R(p)(x)=p(0), Sl(sumk=0^n akx^kr)=sumk=1^n akx^k-1, Tl(sumk=0^n akx^kr)=sumk=0^n akx^k+1
Precisamos:
  1. Calcular a imagem do polinômio p(x)=2+3x-x^2+x^3 pelos operadores
R,;S,;T,;ST,;TS,;(TS)^2,;T^2S^2,;S^2T^2,;TRS,;RST
  1. Provar que R,S,T são lineares e achar ker e Im de cada uma.
  2. Mostrar que T é injetora e encontrar Q: Pto P linear com QT=I.
  3. Para n>=1, expressar (TS)^n e S^nT^n em função de I e R.

Passo 2

Calculemos passo a passo para p(x)=2+3x-x^2+x^3.
  1. R(p)(x)=p(0)=2
  2. S(p)(x)=3 - x + x^2
  3. T(p)(x)=x,p(x)=2x+3x^2 - x^3 + x^4
  4. ST(p)=Sl(T(p)r)=2+3x - x^2 + x^3 (que é igual a p).
  5. TS(p)=Tl(S(p)r)=x(3 - x + x^2)=3x - x^2 + x^3
  6. (TS)^2(p)=TSl(TS(p)r)=TS(p)=3x - x^2 + x^3
  7. S^2(p)=Sl(S(p)r)=S(3 - x + x^2)=-1 + x, então
    T^2S^2(p)=T^2(-1+x)=Tl(-x+x^2r)=-x^2+x^3
  8. T^2(p)=2x^2+3x^3 - x^4 + x^5, Sl(T^2(p)r)=2x+3x^2 - x^3 + x^4,
    S^2T^2(p)=2+3x - x^2 + x^3=p
  9. RS(p)=R(3 - x + x^2)=3, logo
    TRS(p)=T(3)=3x
  10. ST(p)=p já achado, então
    RST(p)=Rl(S(T(p))r)=R(p)=2

Passo 3

Mostramos linearidade de cada operador usando
Phi(a,p+b,q)=a,Phi(p)+b,Phi(q),
que vale para Phi=R,S,T.
ker R=pcolon p(0)=0, Im R=constantes.
ker S=pcolon ak=0;forall k>=1 (polinômios constantes), Im S= P.
ker T=0 (pois x,p(x)=0implies p=0), Im T=pcolon p(0)=0.

Passo 4

Como ker T=0, T é injetora. Definimos
Q=S
Então para todo p,
(QT)(p)=Sl(T(p)r)=p,
isto é, QT=I.

Passo 5

Usando
TS(p)=Tl(S(p)r)=p(x)-p(0)=l(I-Rr)(p), ST(p)=p,
vemos que para n>=1
(TS)^n=(I-R)^n=I-R, S^nT^n=(ST)^n=I^n=I

Resposta

  1. Imagens de p(x)=2+3x-x^2+x^3:
R(p)=2, S(p)=3 - x + x^2, T(p)=2x+3x^2 - x^3 + x^4,
ST(p)=2+3x - x^2 + x^3, TS(p)=3x - x^2 + x^3, (TS)^2(p)=3x - x^2 + x^3,
T^2S^2(p)=-x^2+x^3, S^2T^2(p)=2+3x - x^2 + x^3, TRS(p)=3x, RST(p)=2
  1. R,S,T são lineares.
    ker R=p:p(0)=0, Im R=constantes.
    ker S=constantes, Im S= P.
    ker T=0, Im T=p:p(0)=0
  2. T é injetora e Q=S satisfaz QT=I.
  3. Para n>=1:
    (TS)^n=I-R,
    S^nT^n=I

Exercícios relacionados