Exercício 12. (Apostol seção 2.8 exercício 31) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definimos
e
por
- Seja
e determine a imagem de
sobre os operadores
,
.
- Prove que
e
são lineares e determine o núcleo e a imagem destas transformações lineares.
- Prove que
é injetor e ache uma transformação linear
tal que
, em que
é a identidade.
- Se
, escreva
e
em função de
e
.
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
de todos os polinômios reais e define as transformações
Precisamos:
- Calcular a imagem do polinômio
pelos operadores
- Provar que
são lineares e achar e de cada uma. - Mostrar que
é injetora e encontrar linear com . - Para
, expressar e em função de e .
Passo 2
Calculemos passo a passo para
.
-
-
-
-
(que é igual a ). -
-
-
então
-
-
logo
-
já achado, então
Passo 3
Mostramos linearidade de cada operador usando
que vale para
.
— ,
.
— (polinômios constantes),
.
— (pois
),
.
—
—
—
Passo 4
Como
,
é injetora. Definimos
Então para todo
,
isto é,
.
Passo 5
Usando
vemos que para
Resposta
- Imagens de
:
-
são lineares.
.
.
-
é injetora e satisfaz . - Para
:
,