Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de
e altura igual a
. Um orifício circular com área da seção reta igual a
é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa igual a
. Até que altura a água subirá no balde?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
- Diâmetro do balde:
(logo o raio é ). - Altura do balde:
. - Área do orifício na base:
. - Taxa de entrada (vazão) de água pelo tubo:
.
Pergunta:
- Até que altura a água subirá no balde (ou seja, qual é a altura de equilíbrio do nível da água)?
Passo 2
Entendimento físico e estratégia (sem resolver ainda):
- Quando o nível da água sobe, aparece uma diferença de altura entre a superfície livre e o orifício na base. Essa diferença gera velocidade de saída da água pelo orifício.
- Em equilíbrio o volume que entra por segundo (vazão de entrada
) é igual ao volume que sai por segundo (vazão de saída ). Então vamos igualar . - Para calcular
usamos a velocidade da água no orifício dada pela lei de Torricelli (que vem do princípio de Bernoulli): a velocidade de saída depende da altura do nível acima do orifício por . Depois a vazão de saída é , onde é a área do orifício. - Assim resolveremos
para encontrar .
Passo 3
Derivando a fórmula da velocidade (explicação didática da lei de Torricelli):
- Considere dois pontos: um na superfície livre da água (pressão
, velocidade aproximada se a superfície se move muito lentamente) e outro logo fora do orifício (pressão , velocidade ). - Aplicando Bernoulli entre esses pontos (pressões iguais, desprezando perdas) obtém-se que a energia potencial por unidade de massa
transforma-se em energia cinética . Logo:
- Isolando
obtemos a lei de Torricelli:
- Aqui
é a aceleração da gravidade (usaremos ) e é a altura da coluna de água acima do orifício (em metros).
Passo 4
Expressando a vazão de saída e igualando à entrada; conversão de unidades:
- A vazão de saída é
onde
é a área do orifício em
.
- Em equilíbrio queremos
, ou seja
- Isolando
:
- Agora convertemos a área do orifício para
: como ,
- Mantemos
e .
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo:
- Primeiro calculamos
:
- Elevando ao quadrado:
- Aplicando a fórmula de
:
- Convertendo para centímetros (multiplica por 100):
- Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
. - Verificação rápida:
é menor que a altura do balde ( ), logo não há transbordamento no equilíbrio.