Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de 10,0 \mathrm{~cm} e altura igual a 25,0 \mathrm{~cm}. Um orifício circular com área da seção reta igual a 1,50 \mathrm{~cm}^{2} é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa igual a 2,40 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Até que altura a água subirá no balde?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
  • Diâmetro do balde: 10{,}0\\ \mathrm{cm} (logo o raio é 5{,}0\\ \mathrm{cm}).
  • Altura do balde: 25{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Área do orifício na base: 1{,}50\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Taxa de entrada (vazão) de água pelo tubo: 2{,}40\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Pergunta:
  • Até que altura a água subirá no balde (ou seja, qual é a altura de equilíbrio do nível da água)?

Passo 2

Entendimento físico e estratégia (sem resolver ainda):
  • Quando o nível da água sobe, aparece uma diferença de altura entre a superfície livre e o orifício na base. Essa diferença gera velocidade de saída da água pelo orifício.
  • Em equilíbrio o volume que entra por segundo (vazão de entrada Q_{\text{in}}) é igual ao volume que sai por segundo (vazão de saída Q_{\text{out}}). Então vamos igualar Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}.
  • Para calcular Q_{\text{out}} usamos a velocidade da água no orifício dada pela lei de Torricelli (que vem do princípio de Bernoulli): a velocidade de saída depende da altura h do nível acima do orifício por v=\sqrt{2gh}. Depois a vazão de saída é Q_{\text{out}} = A\cdot v, onde A é a área do orifício.
  • Assim resolveremos Q_{\text{in}} = A\sqrt{2gh} para encontrar h.

Passo 3

Derivando a fórmula da velocidade (explicação didática da lei de Torricelli):
  • Considere dois pontos: um na superfície livre da água (pressão p_{\text{atm}}, velocidade aproximada v_{\text{sup}}\approx0 se a superfície se move muito lentamente) e outro logo fora do orifício (pressão p_{\text{atm}}, velocidade v).
  • Aplicando Bernoulli entre esses pontos (pressões iguais, desprezando perdas) obtém-se que a energia potencial por unidade de massa gh transforma-se em energia cinética v^{2}/2. Logo:
\frac{v^{2}}{2}=gh.
  • Isolando v obtemos a lei de Torricelli:
v=\sqrt{2gh}.
  • Aqui g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a altura da coluna de água acima do orifício (em metros).

Passo 4

Expressando a vazão de saída e igualando à entrada; conversão de unidades:
  • A vazão de saída é
Q_{\text{out}} = A\cdot v = A\sqrt{2gh},
onde A é a área do orifício em \mathrm{m^{2}}.
  • Em equilíbrio queremos Q_{\text{in}}=Q_{\text{out}}, ou seja
Q_{\text{in}} = A\sqrt{2gh}.
  • Isolando h:
\sqrt{2gh}=\frac{Q_{\text{in}}}{A}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{1}{2g}\left(\frac{Q_{\text{in}}}{A}\right)^{2}.
  • Agora convertemos a área do orifício para \mathrm{m^{2}}: como 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
A = 1{,}50\\ \mathrm{cm^{2}} = 1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Mantemos Q_{\text{in}}=2{,}40\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
  • Primeiro calculamos \dfrac{Q_{\text{in}}}{A}:
\frac{Q_{\text{in}}}{A}=\frac{2{,}40\times10^{-4}}{1{,}50\times10^{-4}}= \frac{2{,}40}{1{,}50}=1{,}6\\ \mathrm{m/s}.
  • Elevando ao quadrado:
\left(\frac{Q_{\text{in}}}{A}\right)^{2}=1{,}6^{2}=2{,}56\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Aplicando a fórmula de h:
h=\frac{1}{2g}\cdot 2{,}56=\frac{2{,}56}{2\cdot 9{,}80}=\frac{2{,}56}{19{,}6}=0{,}130612\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para centímetros (multiplica por 100):
h\approx 13{,}06\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos h\approx 13{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • Verificação rápida: 13{,}1\\ \mathrm{cm} é menor que a altura do balde ( 25{,}0\\ \mathrm{cm}), logo não há transbordamento no equilíbrio.

Resposta

13{,}1\\ \mathrm{cm}

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