[3pt]. Dada a função f(x)=x \sqrt{x+1}
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.

Passo 1

Temos a função f(x)=x\sqrt{x+1}. O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Determinar o domínio de f.
  2. (b) Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de f.
  3. (c) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e identificar máximos e mínimos locais.
Informações fornecidas: a expressão explícita de f. Nada mais é dado.

Passo 2

(a) Determinar o domínio.
Explicação do conceito rápido: para que a função f(x)=x\sqrt{x+1} esteja definida em números reais, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa, porque raiz quadrada de número negativo não é real.
Impondo essa condição:
x+1 \ge 0.
Resolvendo,
x \ge -1.
Portanto o domínio é o conjunto dos x reais maiores ou iguais a -1, isto é
[-1,\infty).

Passo 3

(b) Calcular a derivada de primeira ordem — preparação: regras que vou usar.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u\cdot v]=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia / potência: \dfrac{d}{dx}(x+1)^{\alpha}=\alpha(x+1)^{\alpha-1}.
Escrevo f(x) como produto:
f(x)=x\,(x+1)^{1/2}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1\cdot (x+1)^{1/2} + x\cdot \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}.
Agora coloco em fator comum (x+1)^{-1/2} para simplificar:
f'(x)=(x+1)^{-1/2}\left[(x+1)+\frac{x}{2}\right].
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
(x+1)+\frac{x}{2}=\frac{2(x+1)+x}{2}=\frac{3x+2}{2}.
Logo
f'(x)=\frac{3x+2}{2}(x+1)^{-1/2}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}.
Observação sobre domínio da derivada: a expressão \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} exige \sqrt{x+1}\neq 0 no denominador, portanto está bem definida para x>-1. Em x=-1 a derivada clássica pela expressão tem denominador zero (mas como x=-1 é extremo do domínio, tratamos separadamente).

Passo 4

(b) Calcular a derivada de segunda ordem — passo a passo.
Parto da forma conveniente
f'(x)=\frac{1}{2}(3x+2)(x+1)^{-1/2}.
Vou derivar usando produto (ou expandindo com potência):
f''(x)=\frac{1}{2}\Big(3\cdot (x+1)^{-1/2} + (3x+2)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)(x+1)^{-3/2}\Big).
Coloco fator comum (x+1)^{-3/2} e simplifico os coeficientes:
f''(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{-3/2}\left[3(x+1)-\frac{3x+2}{2}\right].
Calculo o colchete:
3(x+1)-\frac{3x+2}{2}=\frac{2\cdot 3(x+1)-(3x+2)}{2}=\frac{6x+6-3x-2}{2}=\frac{3x+4}{2}.
Substituindo,
f''(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{-3/2}\cdot\frac{3x+4}{2}=\frac{3x+4}{4(x+1)^{3/2}}.
Portanto
f''(x)=\frac{3x+4}{4(x+1)^{3/2}},
definida para x>-1.

Passo 5

(c) Encontrar pontos críticos e valores da função nesses pontos.
Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' indefinida (no interior do domínio consideramos ambos, e também olhamos pontos de fronteira do domínio).
  1. Solve f'(x)=0:
\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac{2}{3}.
Esse x=-\tfrac{2}{3} pertence ao domínio [-1,\infty), logo é ponto crítico interior.
  1. Onde f' é indefinida no domínio? Em x=-1 a expressão de f' tem denominador zero; x=-1 é extremidade do domínio, então também merece análise como possível extremo local.
Agora calculo os valores da função nesses pontos.
  • Em x=-1,
f(-1)=(-1)\sqrt{-1+1}=(-1)\cdot 0=0.
  • Em x=-\tfrac{2}{3},
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{2}{3}\sqrt{-\tfrac{2}{3}+1}=-\tfrac{2}{3}\sqrt{\tfrac{1}{3}}=-\tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}.
Se preferir uma forma racionalizada,
-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.

Passo 6

(c) Determinar intervalos de crescimento e decrescimento — análise de sinal de f'.
Já temos
f'(x)=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}.
No domínio x>-1 o denominador 2\sqrt{x+1} é estritamente positivo, logo o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 3x+2.
O numerador zera em x=-\tfrac{2}{3} e é negativo para x<-\tfrac{2}{3} e positivo para x> -\tfrac{2}{3}.
Juntando com o domínio [-1,\infty):
  • Em [-1,-\tfrac{2}{3}): 3x+2<0 e denominador >0 \Rightarrow f'(x)<0. Assim f é decrescente em [-1,-\tfrac{2}{3}).
  • Em (- \tfrac{2}{3},\infty): 3x+2>0 \Rightarrow f'(x)>0. Assim f é crescente em (- \tfrac{2}{3},\infty).
Observação sobre o ponto x=-1: sendo início do domínio, dizemos que f decresce imediatamente à direita de -1 (para valores -1<x<-\tfrac{2}{3}), então -1 é um ponto onde f assume um valor maior que valores próximos à direita — isto leva à classificação de extremo local (veja passo seguinte).

Passo 7

(c) Identificar máximos e mínimos locais — interpretação e teste.
Pelo teste de monotonicidade:
  • Em [-1,-\tfrac{2}{3}) a função é decrescente e em (- \tfrac{2}{3},\infty) ela é crescente. Isso mostra que em x=-\tfrac{2}{3} a função muda de decrescente para crescente — condição típica de mínimo local. Portanto x=-\tfrac{2}{3} é um mínimo local. Valor mínimo local:
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.
Também analisando o ponto de fronteira x=-1: como imediatamente à direita de -1 a função decresce (valores menores que f(-1)), isso faz com que f(-1)=0 seja maior que valores próximos e, portanto, x=-1 é um máximo local (máximo relativo no sentido do domínio da função). Valor do máximo local em x=-1:
f(-1)=0.
Verificação com segunda derivada no interior: calculamos f''(x)=\dfrac{3x+4}{4(x+1)^{3/2}}. Em x=-\tfrac{2}{3},
f''\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\frac{3(-\tfrac{2}{3})+4}{4\bigl(-\tfrac{2}{3}+1\bigr)^{3/2}}=\frac{-2+4}{4\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3/2}}=\frac{2}{4\cdot \tfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\frac{2\cdot 3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}>0,
confirmando que é um ponto de mínimo (concavidade para cima).
Não há outros extremos locais no interior do domínio. Em particular não existe máximo global porque quando x\to\infty temos f(x)\sim x^{3/2}\to\infty.

Resposta

(a) Domínio: [-1,\infty).
(b) f'(x)=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}},\qquad f''(x)=\frac{3x+4}{4(x+1)^{3/2}}.
(c) Crescimento/decrescimento e extremos locais:
  • f é decrescente em \bigl[-1,-\tfrac{2}{3}\bigr).
  • f é crescente em \bigl(-\tfrac{2}{3},\infty\bigr).
  • Mínimo local em x=-\tfrac{2}{3} com valor f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}.
  • Máximo local (no extremo do domínio) em x=-1 com valor f(-1)=0.

Exercícios relacionados