[3pt]. Dada a função
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
(a) Determine o domínio.
(b) Calcule as derivadas de 1a e 2a ordem.
(c) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos locais.
Passo 1
Temos a função
. O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de
. - (c) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e identificar máximos e mínimos locais.
Informações fornecidas: a expressão explícita de
. Nada mais é dado.
Passo 2
(a) Determinar o domínio.
Explicação do conceito rápido: para que a função
esteja definida em números reais, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa, porque raiz quadrada de número negativo não é real.
Impondo essa condição:
Resolvendo,
Portanto o domínio é o conjunto dos
reais maiores ou iguais a
, isto é
Passo 3
(b) Calcular a derivada de primeira ordem — preparação: regras que vou usar.
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia / potência:
.
Escrevo
como produto:
Aplicando a regra do produto:
Agora coloco em fator comum
para simplificar:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Logo
Observação sobre domínio da derivada: a expressão
exige
no denominador, portanto está bem definida para
. Em
a derivada clássica pela expressão tem denominador zero (mas como
é extremo do domínio, tratamos separadamente).
Passo 4
(b) Calcular a derivada de segunda ordem — passo a passo.
Parto da forma conveniente
Vou derivar usando produto (ou expandindo com potência):
Coloco fator comum
e simplifico os coeficientes:
Calculo o colchete:
Substituindo,
Portanto
definida para
.
Passo 5
(c) Encontrar pontos críticos e valores da função nesses pontos.
Pontos críticos ocorrem onde
ou
indefinida (no interior do domínio consideramos ambos, e também olhamos pontos de fronteira do domínio).
- Solve
:
Esse
pertence ao domínio
, logo é ponto crítico interior.
- Onde
é indefinida no domínio? Em a expressão de tem denominador zero; é extremidade do domínio, então também merece análise como possível extremo local.
Agora calculo os valores da função nesses pontos.
- Em
,
- Em
,
Se preferir uma forma racionalizada,
Passo 6
(c) Determinar intervalos de crescimento e decrescimento — análise de sinal de
.
Já temos
No domínio
o denominador
é estritamente positivo, logo o sinal de
é o mesmo do numerador
.
O numerador zera em
e é negativo para
e positivo para
.
Juntando com o domínio
:
- Em
: e denominador . Assim é decrescente em . - Em
: . Assim é crescente em .
Observação sobre o ponto
: sendo início do domínio, dizemos que
decresce imediatamente à direita de
(para valores
), então
é um ponto onde
assume um valor maior que valores próximos à direita — isto leva à classificação de extremo local (veja passo seguinte).
Passo 7
(c) Identificar máximos e mínimos locais — interpretação e teste.
Pelo teste de monotonicidade:
- Em
a função é decrescente e em ela é crescente. Isso mostra que em a função muda de decrescente para crescente — condição típica de mínimo local. Portanto é um mínimo local. Valor mínimo local:
Também analisando o ponto de fronteira
: como imediatamente à direita de
a função decresce (valores menores que
), isso faz com que
seja maior que valores próximos e, portanto,
é um máximo local (máximo relativo no sentido do domínio da função). Valor do máximo local em
:
Verificação com segunda derivada no interior: calculamos
. Em
,
confirmando que é um ponto de mínimo (concavidade para cima).
Não há outros extremos locais no interior do domínio. Em particular não existe máximo global porque quando
temos
.
Resposta
(a) Domínio:
.
(b)
(c) Crescimento/decrescimento e extremos locais:
-
é decrescente em . -
é crescente em . - Mínimo local em
com valor . - Máximo local (no extremo do domínio) em
com valor .