[\mathbf{2 p t}] Encontre uma equação da reta tangente à curva
\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{3}}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{3}}}
no ponto (x, y)=(2,2).

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre uma equação da reta tangente à curva
\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{3}}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{3}}}
no ponto (x,y)=(2,2)."
Informações dadas que vamos usar: a equação implícita da curva e o ponto de tangência (2,2). O objetivo final é obter a equação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a equação dada para uma forma mais manejável. As duas raízes quadradas são não negativas, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções relevantes no domínio onde as raízes estão definidas:
\left(\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{3}}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{3}}}\right)^{2}.
Isso nos dá a equação simplificada
\frac{x^{2}}{y^{3}}=\frac{y^{2}}{x^{3}}.

Passo 3

Agora manipulamos algebricamente a igualdade obtida. Multiplicamos ambos os lados por y^{3}x^{3} (assumindo x\neq0 e y\neq0, o que vale para o ponto (2,2)) para eliminar denominadores:
x^{2}\,x^{3}=y^{2}\,y^{3}.
Isso é
x^{5}=y^{5}.

Passo 4

A equação \,x^{5}=y^{5}\, implica que x^{5}-y^{5}=0. Podemos fatorar a diferença de potências:
x^{5}-y^{5}=(x-y)\bigl(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\bigr)=0.
Portanto as soluções satisfazem x=y ou \;x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}=0.

Passo 5

Observação sobre ramos: no domínio real e considerando as raízes quadradas originais (valores não negativos), o ponto (2,2) claramente satisfaz x=y. Assim a curva passa por (2,2) no ramo x=y. Para encontrar a tangente em (2,2) basta derivar a relação válida naquele ramo; a forma mais direta é derivar a igualdade equivalente x^{5}=y^{5}.

Passo 6

Vamos diferenciar implicitamente a equação
x^{5}=y^{5}.
Explicando a técnica: quando y depende de x implicitamente, para derivar uma expressão em y usamos a regra da cadeia. A derivada de y^{5} em relação a x é 5y^{4}\,\frac{dy}{dx}, porque primeiro derivamos a potência (ficando 5y^{4}) e depois multiplicamos pela derivada interna dy/dx.
Ao derivar termo a termo obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(y^{5}\bigr)
ou seja
5x^{4}=5y^{4}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 7

Isolamos \frac{dy}{dx} (a inclinação da reta tangente, que costuma denotar-se por y'):
\frac{dy}{dx}=\frac{5x^{4}}{5y^{4}}=\frac{x^{4}}{y^{4}}=\left(\frac{x}{y}\right)^{4}.
Aqui expliquei: \frac{dy}{dx} é a taxa de variação de y em relação a x ao longo da curva — na prática, é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 8

Agora avaliamos a derivada no ponto dado (2,2). Substituindo x=2 e y=2 na expressão da derivada:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,2)}=\left(\frac{2}{2}\right)^{4}=1^{4}=1.
Logo a inclinação da reta tangente em (2,2) é m=1.

Passo 9

A equação da reta tangente com coeficiente angular m que passa por (x_{0},y_{0}) é dada pela fórmula ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aplicando m=1 e (x_{0},y_{0})=(2,2), obtemos
y-2=1\cdot(x-2).
Rearranjando:
y=x.

Resposta

y=x

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