no ponto (x,y)=(2,2)."
Informações dadas que vamos usar: a equação implícita da curva e o ponto de tangência (2,2). O objetivo final é obter a equação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a equação dada para uma forma mais manejável. As duas raízes quadradas são não negativas, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções relevantes no domínio onde as raízes estão definidas:
Agora manipulamos algebricamente a igualdade obtida. Multiplicamos ambos os lados por y^{3}x^{3} (assumindo x\neq0 e y\neq0, o que vale para o ponto (2,2)) para eliminar denominadores:
x^{2}\,x^{3}=y^{2}\,y^{3}.
Isso é
x^{5}=y^{5}.
Passo 4
A equação \,x^{5}=y^{5}\, implica que x^{5}-y^{5}=0. Podemos fatorar a diferença de potências:
Portanto as soluções satisfazem x=y ou \;x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}=0.
Passo 5
Observação sobre ramos: no domínio real e considerando as raízes quadradas originais (valores não negativos), o ponto (2,2) claramente satisfaz x=y. Assim a curva passa por (2,2) no ramo x=y. Para encontrar a tangente em (2,2) basta derivar a relação válida naquele ramo; a forma mais direta é derivar a igualdade equivalente x^{5}=y^{5}.
Passo 6
Vamos diferenciar implicitamente a equação
x^{5}=y^{5}.
Explicando a técnica: quando y depende de x implicitamente, para derivar uma expressão em y usamos a regra da cadeia. A derivada de y^{5} em relação a x é 5y^{4}\,\frac{dy}{dx}, porque primeiro derivamos a potência (ficando 5y^{4}) e depois multiplicamos pela derivada interna dy/dx.