[2pt] Calcule o limite abaixo
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\cos (x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow \pi/4} \frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A expressão do numerador é \cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=\frac{\pi}{4}.
  • Note que \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, então tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando x\to\frac{\pi}{4}, ou seja, temos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.

Passo 2

Quando encontramos uma indeterminação \frac{0}{0}, uma boa estratégia é transformar a diferença de cossenos usando uma identidade trigonométrica que facilita o cancelamento do fator x-\frac{\pi}{4}. A identidade útil é a soma-produto para cossenos:
\cos u - \cos v = -2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Vou aplicar essa identidade com u=x e v=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Aplicando a identidade com u=x e v=\frac{\pi}{4} obtemos:
\cos(x)-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\sin\!\left(\frac{x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2}\right).
Como \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, isso reescreve o quociente do limite como
\frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}} = \frac{-2\sin\!\left(\frac{x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{4}}.

Passo 4

Para simplificar a parte que envolve x-\frac{\pi}{4}, faça a substituição h = x-\frac{\pi}{4}. Quando x\to\frac{\pi}{4} temos h\to 0. Reescrevendo em termos de h:
\frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}} = -2\sin\!\left(\frac{\left(\frac{\pi}{4}+h\right)+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\cdot \frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.
Agora simplificamos a primeira função seno no produto:
\frac{\left(\frac{\pi}{4}+h\right)+\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi/2 + h}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{h}{2}.
Então a expressão fica
\frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}} = -2\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.

Passo 5

Vamos manipular a fração \dfrac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h} para usar o limite padrão \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Observe que
\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}.
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
\frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}} = -2\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{h}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = -\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}.
Agora tome o limite quando h\to 0 (equivalente a x\to\frac{\pi}{4}). Usamos duas propriedades:
  1. A função \sin é contínua, então \sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{h}{2}\right)\to \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) quando h\to 0.
  2. O limite padrão \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 com t=\frac{h}{2} \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=1.
    Portanto o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x-\frac{\pi}{4}} = -\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 1.

Passo 6

Calcule \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right). Lembrando os valores trigonométricos notáveis,
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Assim o limite é
-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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