[2pt] Calcule o limite abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- A expressão do numerador é
. - O ponto onde
se aproxima é . - Note que
, então tanto numerador quanto denominador tendem a zero quando , ou seja, temos uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Quando encontramos uma indeterminação
, uma boa estratégia é transformar a diferença de cossenos usando uma identidade trigonométrica que facilita o cancelamento do fator
. A identidade útil é a soma-produto para cossenos:
Vou aplicar essa identidade com
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
obtemos:
Como
, isso reescreve o quociente do limite como
Passo 4
Para simplificar a parte que envolve
, faça a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo em termos de
:
Agora simplificamos a primeira função seno no produto:
Então a expressão fica
Passo 5
Vamos manipular a fração
para usar o limite padrão
. Observe que
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
Agora tome o limite quando
(equivalente a
). Usamos duas propriedades:
- A função
é contínua, então quando . - O limite padrão
com dá .
Portanto o limite do produto é o produto dos limites:
Passo 6
Calcule
. Lembrando os valores trigonométricos notáveis,
Assim o limite é