Ex. 2 - (3pt) Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o limite
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de dependência de caminho: se ao longo de dois caminhos o valor da função tende a valores diferentes, o limite não existe.
Passo 2
Vejamos primeiro o caminho pelo eixo
. Substituindo em
temos
implica
Logo, ao longo de
,
Passo 3
Agora escolhemos o caminho dado por
com
constante. Substituindo, o numerador fica
e o denominador
Portanto
que é constante em
.
Passo 4
Ao fazermos
por
, obtemos
Esse valor depende de
. Por exemplo, se
dá
, mas se
dá
.
Passo 5
Como o limite depende do caminho (valor nulo para
e
para
), concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.