Ex. 2 - (3pt) Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x^3 yx^6+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^3yx^6+3y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de dependência de caminho: se ao longo de dois caminhos o valor da função tende a valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Vejamos primeiro o caminho pelo eixo y=0. Substituindo em
f(x,y)=x^3yx^6+3y^2,
temos y=0 implica
f(x,0)=x^3cdot0x^6+3cdot0^2=0
Logo, ao longo de y=0,
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

Agora escolhemos o caminho dado por
y=kx^3,
com k constante. Substituindo, o numerador fica
x^3,(kx^3)=k,x^6,
e o denominador
x^6+3,(kx^3)^2=x^6+3k^2x^6=x^6(1+3k^2)
Portanto
fl(x,kx^3r) =k,x^6x^6(1+3k^2) =k1+3k^2,
que é constante em x.

Passo 4

Ao fazermos (x,y)to(0,0) por y=kx^3, obtemos
limxto0fl(x,kx^3r) =k1+3k^2
Esse valor depende de k. Por exemplo, se k=0 0, mas se k=1 tfrac14.

Passo 5

Como o limite depende do caminho (valor nulo para k=0 e tfrac14 para k=1), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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