Q2 (3pts) Num sistema cartesiano de coordenadas (
), uma partícula
encontra-se inicialmente em repouso na origem e uma segunda
, encontra-se na posição
, com o centro de massa do sistema na posição (
). A velocidade do centro de massa é dada por
ao longo do eixo
. Determine:
(a) A massa da partícula na origem.
(b) A aceleração do centro de massa.
(c) Considere que as forças são iguais para as duas partículas. Com base nesta informação, calcule a aceleração de cada uma delas.
(a) A massa da partícula na origem.
(b) A aceleração do centro de massa.
(c) Considere que as forças são iguais para as duas partículas. Com base nesta informação, calcule a aceleração de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
-
Informações dadas:
- A partícula
está inicialmente em repouso na origem, ou seja . - A segunda partícula tem massa
e está na posição . - O centro de massa do sistema está na posição
(isto é, ). - A velocidade do centro de massa ao longo do eixo
é (unidades ), função do tempo .
- A partícula
-
Perguntas:
(a) Determine a massa da partícula na origem ().
(b) Determine a aceleração do centro de massa ().
(c) Admitindo que as forças aplicadas nas duas partículas são iguais, calcule a aceleração de cada partícula.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula do centro de massa para um sistema de duas partículas ao longo do eixo
. Para duas massas puntuais
e
com coordenadas
e
, o
-coordenada do centro de massa é
Aqui cada símbolo significa:
-
: posição do centro de massa ao longo do eixo (em metros), -
: massas (em kg), -
: posições das massas (em m), -
: massa total do sistema.
Iremos usar essa fórmula para achar
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do centro de massa com os dados:
,
,
e
,
Simplifico o numerador:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Isolando
:
Passo 4
Agora a parte (b): a aceleração do centro de massa. A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Se a velocidade do centro de massa é dada por
então a aceleração do centro de massa é
Derivando
em relação a
(uso a regra da potência:
):
Portanto a aceleração do centro de massa ao longo do eixo
é
. Em forma vetorial, ao longo do eixo
,
Passo 5
Parte (c): interpretar “as forças são iguais para as duas partículas” e como isso dá as acelerações individuais.
- Pela segunda lei de Newton, para cada partícula
vale
onde
é a força resultante sobre a partícula
,
sua massa e
sua aceleração.
- Se as forças sobre as duas partículas têm mesma intensidade e direção, escrevemos (tomando a componente em
):
Passo 6
Relacionando isso com a aceleração do centro de massa: a soma das forças externas é a força resultante total sobre o sistema,
A segunda lei para o centro de massa diz que
onde
é a massa total. Logo
Isolando
,
Passo 7
Agora substituímos valores numéricos (lembre:
,
,
e
):
Passo 8
Com
em mãos, calculamos as acelerações individuais pela fórmula
.
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Checagem rápida de consistência: a soma das contribuições de massa vezes aceleração deve reproduzir
:
e isso é igual a
. Tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c) e
(b)
(c)