Q2 (3pts) Num sistema cartesiano de coordenadas ( x, y ), uma partícula m_{1} encontra-se inicialmente em repouso na origem e uma segunda m_{2}=0.5 \mathrm{~kg}, encontra-se na posição \left(x_{2}, y_{2}\right)=(10 \mathrm{~m}, 0), com o centro de massa do sistema na posição ( 4 \mathrm{~m}, 0 ). A velocidade do centro de massa é dada por V_{c m}=(1.5) t^{2} ao longo do eixo x. Determine:
(a) A massa da partícula na origem.
(b) A aceleração do centro de massa.
(c) Considere que as forças são iguais para as duas partículas. Com base nesta informação, calcule a aceleração de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Informações dadas:
    • A partícula m_{1} está inicialmente em repouso na origem, ou seja \left(x_{1},y_{1}\right)=(0,0).
    • A segunda partícula tem massa \;m_{2}=0,5\\ \mathrm{kg}\; e está na posição \left(x_{2},y_{2}\right)=(10\\ \mathrm{m},0).
    • O centro de massa do sistema está na posição (4\\ \mathrm{m},0) (isto é, x_{cm}=4\\ \mathrm{m}).
    • A velocidade do centro de massa ao longo do eixo x é \;V_{cm}=(1,5)\,t^{2} (unidades \mathrm{m/s}), função do tempo t.
  • Perguntas:
    (a) Determine a massa da partícula na origem ( m_{1}).
    (b) Determine a aceleração do centro de massa ( a_{cm}).
    (c) Admitindo que as forças aplicadas nas duas partículas são iguais, calcule a aceleração de cada partícula.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula do centro de massa para um sistema de duas partículas ao longo do eixo x. Para duas massas puntuais m_{1} e m_{2} com coordenadas x_{1} e x_{2}, o x-coordenada do centro de massa é
x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x_{cm}: posição do centro de massa ao longo do eixo x (em metros),
  • m_{1},m_{2}: massas (em kg),
  • x_{1},x_{2}: posições x das massas (em m),
  • m_{1}+m_{2}: massa total do sistema.
Iremos usar essa fórmula para achar m_{1}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do centro de massa com os dados: x_{1}=0, x_{2}=10\\ \mathrm{m}, x_{cm}=4\\ \mathrm{m} e m_{2}=0,5\\ \mathrm{kg},
4=\frac{m_{1}\cdot 0 + 0,5\cdot 10}{m_{1}+0,5}.
Simplifico o numerador:
4=\frac{5}{m_{1}+0,5}.
Multiplicando ambos os lados por m_{1}+0,5:
4(m_{1}+0,5)=5.
Distribuindo:
4m_{1}+2=5.
Isolando m_{1}:
4m_{1}=5-2=3,
m_{1}=\frac{3}{4}=0,75\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora a parte (b): a aceleração do centro de massa. A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Se a velocidade do centro de massa é dada por
V_{cm}(t)=(1,5)\,t^{2},
então a aceleração do centro de massa é
a_{cm}(t)=\frac{dV_{cm}}{dt}.
Derivando (1,5)\,t^{2} em relação a t (uso a regra da potência: \frac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}):
a_{cm}(t)= (1,5)\cdot 2\,t = 3\,t.
Portanto a aceleração do centro de massa ao longo do eixo x é \;a_{cm}(t)=3\,t\\ \mathrm{m/s^{2}}. Em forma vetorial, ao longo do eixo x,
\vec a_{cm}(t) = (3\,t)\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Parte (c): interpretar “as forças são iguais para as duas partículas” e como isso dá as acelerações individuais.
  • Pela segunda lei de Newton, para cada partícula i vale
\vec F_{i}=m_{i}\,\vec a_{i},
onde \vec F_{i} é a força resultante sobre a partícula i, m_{i} sua massa e \vec a_{i} sua aceleração.
  • Se as forças sobre as duas partículas têm mesma intensidade e direção, escrevemos (tomando a componente em x):
F_{1}=F_{2}=F.

Passo 6

Relacionando isso com a aceleração do centro de massa: a soma das forças externas é a força resultante total sobre o sistema,
F_{tot}=F_{1}+F_{2}=2F.
A segunda lei para o centro de massa diz que
F_{tot}=M\,a_{cm},
onde M=m_{1}+m_{2} é a massa total. Logo
2F=(m_{1}+m_{2})\,a_{cm}.
Isolando F,
F=\frac{(m_{1}+m_{2})\,a_{cm}}{2}.

Passo 7

Agora substituímos valores numéricos (lembre: m_{1}=0,75\\ \mathrm{kg}, m_{2}=0,5\\ \mathrm{kg}, a_{cm}=3t\\ \mathrm{m/s^{2}} e M=1,25\\ \mathrm{kg}):
F=\frac{1,25\cdot (3t)}{2}=\frac{3,75\,t}{2}=1,875\,t\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Com F em mãos, calculamos as acelerações individuais pela fórmula a_{i}=F/m_{i}.
  • Para m_{1}=0,75\\ \mathrm{kg}:
a_{1}(t)=\frac{F}{m_{1}}=\frac{1,875\,t}{0,75}=2,5\,t\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para m_{2}=0,5\\ \mathrm{kg}:
a_{2}(t)=\frac{F}{m_{2}}=\frac{1,875\,t}{0,5}=3,75\,t\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

Checagem rápida de consistência: a soma das contribuições de massa vezes aceleração deve reproduzir M a_{cm}:
m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}=0,75\cdot(2,5t)+0,5\cdot(3,75t)=1,875t+1,875t=3,75t,
e isso é igual a M a_{cm}=1,25\cdot(3t)=3,75t. Tudo consistente.

Resposta

(a) m_{1}=0,75\\ \mathrm{kg}
(b) \vec a_{cm}(t)=(3\,t)\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) a_{1}(t)=2,5\,t\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{2}(t)=3,75\,t\\ \mathrm{m/s^{2}}

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