EXERCÍCIO 5:(0,5pt) Dada a solução para as órbitas estacionárias para um nível arbitrário
,
determine a constante de normalização
para os seguinte casos. [Obs: Considere que cada nível pode ser normalizado de forma independente dos demais.]
( 0,25 pt) fundamental
( 0,25 pt) fundamental
Passo 1
O enunciado dá a forma geral da função de onda das órbitas estacionárias:
e pede para determinar a constante de normalização
para o caso fundamental
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Escrevo a função de onda do estado fundamental usando
:
Calculo o módulo ao quadrado (essa é a densidade de probabilidade):
Agora uso a condição de normalização:
Passo 3
Precisamos avaliar a integral gaussiana
com
. Vou mostrar a derivação rápida e didática da fórmula conhecida
.
Considere
:
Troco para coordenadas polares
. O jacobiano é
, e os limites ficam
,
:
Faço a substituição
, daí
. Assim
Logo
Voltando ao nosso caso com
, obtemos
Passo 4
Substituo o valor da integral na condição de normalização:
Isolando
:
Portanto o módulo de
é
Na mecânica quântica é costume escolher a fase de normalização tal que
seja real e positivo. Assim tomamos