EXERCÍCIO 5:(0,5pt) Dada a solução para as órbitas estacionárias para um nível arbitrário
,
determine a constante de normalização
para os seguinte casos. [Obs: Considere que cada nível pode ser normalizado de forma independente dos demais.]
(
) primeiro estado excitado
(
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos a solução estacionária
e o exercício pede para determinar a constante de normalização
para o primeiro estado excitado, isto é
. Foi observado que cada nível pode ser normalizado independentemente dos demais. Portanto a tarefa é achar
tal que a função de onda seja normalizada em
.
Passo 2
Condição de normalização e simplificação temporal. A condição de normalização é
Como
, o fator temporal desaparece do módulo ao quadrado. Assim
Logo a normalização fica
Passo 3
Mudança de variável para usar a ortogonalidade dos polinômios de Hermite. É padrão trabalhar com a variável adimensional
Então
e a exponencial transforma-se em
. Substituindo na integral obtemos
Observação: aqui interpretamos
como os polinômios de Hermite na variável adimensional
, que é a forma canônica usada na ortogonalidade.
Passo 4
Ortogonalidade dos polinômios de Hermite (fórmula usada). A propriedade clássica é
Isto significa, para
,
Breve comentário didático: essa identidade vem da definição dos polinômios de Hermite e da sua ortogonalidade com o peso
; não precisamos provar aqui, basta aplicá-la.
Passo 5
Aplicando a fórmula para
. Para
a integral vale
Substituindo na condição de normalização do Passo 3:
Passo 6
Resolvendo para
. Isolando
obtemos
Escolhemos
positivo real (padrão de normalização), então
Reescrevendo de forma comum e mais compacta,