6.3Q Considere a edo de segunda ordem:
e
contínuas. Se
é uma solução não nula da edo homogênea associada, mostre que a substituição
leva a edo à forma:
que possui fator integrante
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de segunda ordem não homogênea
e uma solução não nula
da homogênea
Queremos mostrar que, com a substituição
a EDO se reduz a
que é uma EDO linear de primeira ordem em
.
Passo 2
Usando a regra do produto, calculamos
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Reagrupando em
,
e
:
Como
satisfaz a homogênea,
logo sobra
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e usando a regra do produto
temos
Passo 5
Definindo
, obtemos a EDO de primeira ordem
O fator integrante desta equação linear é
Resposta
O fator integrante é