6.3Q Considere a edo de segunda ordem:
y^prime prime+a1(x) y^prime+a0(x) y=b(x)
com a0(x), a1(x) e b(x) contínuas. Se varphi(x) é uma solução não nula da edo homogênea associada, mostre que a substituição y=varphi z leva a edo à forma:
dd x(varphi^2 z^prime)+a1(varphi^2 z^prime)=varphi b
que possui fator integrante I=exp (integral a1(x) d x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segunda ordem não homogênea
y'' + a1(x),y' + a0(x),y = b(x)
e uma solução não nula varphi(x) da homogênea
y'' + a1(x),y' + a0(x),y = 0
Queremos mostrar que, com a substituição
y = varphi,z,
a EDO se reduz a
ddxl(varphi^2z'r) + a1(x),l(varphi^2z'r) = varphi,b(x),
que é uma EDO linear de primeira ordem em w=varphi^2z'.

Passo 2

Usando a regra do produto, calculamos
y' = (varphi,z)' = varphi',z + varphi,z',
y'' = (varphi',z + varphi,z')' = varphi'',z + 2,varphi',z' + varphi,z''

Passo 3

Substituindo em
,y'' + a1y' + a0y = b, obtemos
l(varphi'',z + 2varphi',z' + varphi,z''r) + a1,(varphi',z + varphi,z') + a0,(varphi,z) = b
Reagrupando em z, z' e z'':
varphi,z'' + l(2varphi' + a1varphir),z' + l(varphi'' + a1varphi' + a0varphir),z = b
Como varphi satisfaz a homogênea,
varphi'' + a1varphi' + a0varphi = 0,
logo sobra
varphi,z'' + l(2varphi' + a1varphir),z' = b

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por varphi e usando a regra do produto
ddxl(varphi^2z'r) = 2varphi,varphi',z' + varphi^2,z'',
temos
varphi^2,z'' + 2varphi,varphi',z' + a1,varphi^2,z' = varphi,b Longrightarrow ddxl(varphi^2z'r) + a1(x),l(varphi^2z'r) = varphi,b(x)

Passo 5

Definindo w(x)=varphi^2(x),z'(x), obtemos a EDO de primeira ordem
w' + a1(x),w = varphi(x),b(x)
O fator integrante desta equação linear é
I(x) = exp!l(integral a1(x),dxr)

Resposta

O fator integrante é
I(x) = exp!l(integral a1(x),dxr)

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