Calcule os limites abaixo sem usar a Regra de L’Hôpital.
lim x +infty(raiz[3]x^3+1-x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(raiz[3]x^3+1-xr)
sem usar Regra de L\’Hôpital. O conteúdo principal aqui é limite no infinito envolvendo radical de grau 3, e vamos usar a fatoração de diferença de cubos para “racionalizar” a expressão.

Passo 2

Defina
a = raiz[3]x^3+1, b = x
Então nosso termo é a - b. Sabemos que
a^3 - b^3 = (x^3+1) - x^3 = 1
e, ao mesmo tempo,
a^3 - b^3 = (a-b),(a^2 + a b + b^2)
Logo podemos multiplicar e dividir por a^2 + a b + b^2.

Passo 3

Multiplicando e dividindo, obtemos
raiz[3]x^3+1 - x = a - b = (a-b),(a^2+a b+b^2)a^2+a b+b^2 = a^3 - b^3a^2+a b+b^2 = 1a^2+a b+b^2

Passo 4

Agora analisamos o denominador quando xto+infty. Note que
a = raiz[3]x^3+1 = x,(1 + tfrac1x^3)^1/3 longrightarrow x quando xto+infty
Portanto
a^2 + a b + b^2 ;approx; x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2 ;longrightarrow; +infty
Assim o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Como temos
raiz[3]x^3+1 - x = 1a^2+a b+b^2
e o denominador tende a +infty, o valor da fração tende a 0.

Resposta

0

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