Determine se f é derivável em p :
f(x)=clx^2, & se x>0, -x^2, & se x <= 0, p=0.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2,&se x>0, -,x^2,&se x<=0, p=0
e quer saber se f é derivável em 0. Para isso, vamos (i) checar continuidade em 0 e (ii) verificar se as derivadas laterais em 0 coincidem.

Passo 2

Verificamos a continuidade em 0. Calculamos as três quantidades:
limxto0^-f(x), limxto0^+f(x) e f(0).
Para xto0^- temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-x^2)=0
Para xto0^+ temos
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^2)=0
E como f(0)=-0^2=0, concluímos que f é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos a derivada pela direita em 0:
f'+(0) =limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h^2-0h =limhto0^+h =0

Passo 4

Calculamos a derivada pela esquerda em 0:
f'-(0) =limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^--h^2-0h =limhto0^-(-h) =0

Passo 5

Como as derivadas laterais coincidem
f'+(0)=0=f'-(0),
concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0

Resposta

f é derivável em p=0 e f'(0)=0.

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