3.Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 centímetros.Entretanto,variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a
.Para testar se a máquina está bem regulada,uma amostra de 100 peças é coletada.
a)Formule o problema como um teste de hipótese.
b)Qual seria a região crítica se
?
c)Se para essa amostra
,qual a conclusão a respeito da regulagem da máquina?
d)Suspeita-se que a máquina esteja produzindo peças com variabilidade acima do estabelecido
.Uma nova amostra de 100 peças resultou num desvio-padrão amostral de
. Estabeleça e teste ao nível de
de significância a hipótese adequada.
a)Formule o problema como um teste de hipótese.
b)Qual seria a região crítica se
c)Se para essa amostra
d)Suspeita-se que a máquina esteja produzindo peças com variabilidade acima do estabelecido
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
- Valor alvo do diâmetro:
centímetros. - Supõe-se distribuição Normal com variância conhecida
. - Tamanho da amostra:
. - Em (c) a amostra apresentou média
. - Em (d) nova amostra de
teve desvio-padrão amostral .
Perguntas:
a) Formular o teste de hipótese para verificar se a máquina está bem regulada.
b) Determinar a região crítica quando .
c) Com , qual conclusão sobre a regulagem da máquina?
d) Testar, ao nível de , a hipótese de que a variabilidade seja maior que
usando
e
.
a) Formular o teste de hipótese para verificar se a máquina está bem regulada.
b) Determinar a região crítica quando
c) Com
d) Testar, ao nível de
Passo 2
(a) Formulação do teste (sem resolver ainda).
Quando perguntam se a máquina está “bem regulada” estamos checando se a média do diâmetro é igual ao alvo . Assim a hipótese nula e alternativa mais natural são:
Quando perguntam se a máquina está “bem regulada” estamos checando se a média do diâmetro é igual ao alvo
(Isto é um teste bilateral para a média.)
Passo 3
(b) Região crítica para
(teste para a média com variância conhecida).
A razão para usar este teste: como a variância é conhecida (
) e a amostra é de tamanho
, usamos o teste-z. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral, -
é o valor sob (aqui ), -
é o desvio-padrão da população (aqui ), -
é a raiz do tamanho da amostra.
Calculemos o erro padrão (SE):
Como o teste é bilateral e
, as duas caudas ficam com
cada. O valor crítico da normal padrão é
tal que
. Esse valor é aproximadamente
.
Logo a região crítica em termos de
é:
Convertendo para
(útil na prova):
Calculemos o produto:
Portanto rejeitamos
se
Passo 4
(c) Aplicando ao caso
.
Calcule a estatística
:
Comparação com a região crítica:
é muito menor que
. Logo não rejeitamos
. Interpretação prática: com
não há evidência suficiente, ao nível
, de que a média difere de
— portanto não há evidência de que a máquina esteja mal regulada.
Se quiser o p‑valor (útil para interpretar): p‑valor bilateral
. Aproximando
, então p‑valor
. Isso confirma que é muito maior que
.
Passo 5
(d) Teste sobre a variância: formulação e escolha do teste.
Queremos testar a suspeita de que a variância verdadeira é maior que
. Com amostra de
e
, e assumindo normalidade, o teste apropriado usa a distribuição qui‑quadrado. As hipóteses são:
(este é um teste unilateral à direita).
A estatística de teste é
onde:
-
são os graus de liberdade, -
é a variância amostral, -
é a variância sob (aqui ).
Passo 6
Cálculos para o teste qui‑quadrado.
Primeiro calcule
:
Número de graus de liberdade:
.
Estatística:
Agora precisamos do valor crítico para nível
. Como o teste é unilateral à direita, rejeitamos
se
onde
é o quantil de ordem
da distribuição qui‑quadrado com 99 graus de liberdade.
Para
e
o valor crítico pode ser obtido em tabela ou aproximado. Usando a aproximação normal para o quantil (válida para df grande):
Com
e
, obtemos
Comparando: nossa estatística
é maior que o crítico
, então rejeitamos
ao nível de
.
Podemos também estimar o p‑valor aproximado usando a transformação:
então p‑valor (unilateral à direita)
, que é menor que
. Isso confirma a rejeição.
Interpretação prática: há evidência, ao nível de
, de que a variabilidade é maior do que a estabelecida
.
Resposta
(a)
(b) Rejeitar
se
, com
. Em termos de
: rejeitar se
ou
.
(c) Com ,
; não rejeitamos
. Conclusão: sem evidência, ao nível
, de que a máquina esteja mal regulada.
(c) Com
(d) Para variância:
Com
,
:
(df
), valor crítico
para
. Como
, rejeitamos
. Conclusão: ao nível de
há evidência de que a variância é maior que
.