3.Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 centímetros.Entretanto,variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a 0.09 \mathrm{~cm}^{2} .Para testar se a máquina está bem regulada,uma amostra de 100 peças é coletada.
a)Formule o problema como um teste de hipótese.
b)Qual seria a região crítica se \alpha=0.02
c)Se para essa amostra \bar{y}=2.02 ,qual a conclusão a respeito da regulagem da máquina?
d)Suspeita-se que a máquina esteja produzindo peças com variabilidade acima do estabelecido \sigma^{2}=0.09 c m^{2} .Uma nova amostra de 100 peças resultou num desvio-padrão amostral de s=0.33 . Estabeleça e teste ao nível de 10 \% de significância a hipótese adequada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
  • Valor alvo do diâmetro: \,2 centímetros.
  • Supõe-se distribuição Normal com variância conhecida \sigma^{2}=0,09\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Em (c) a amostra apresentou média \bar{y}=2,02.
  • Em (d) nova amostra de n=100 teve desvio-padrão amostral s=0,33.
Perguntas:
a) Formular o teste de hipótese para verificar se a máquina está bem regulada.
b) Determinar a região crítica quando \alpha=0,02.
c) Com \bar{y}=2,02, qual conclusão sobre a regulagem da máquina?
d) Testar, ao nível de 10\%, a hipótese de que a variabilidade seja maior que \sigma^{2}=0,09 usando n=100 e s=0,33.

Passo 2

(a) Formulação do teste (sem resolver ainda).
Quando perguntam se a máquina está “bem regulada” estamos checando se a média do diâmetro é igual ao alvo 2. Assim a hipótese nula e alternativa mais natural são:
H_0:\\ \mu=2
H_1:\\ \mu\neq 2
(Isto é um teste bilateral para a média.)

Passo 3

(b) Região crítica para \alpha=0,02 (teste para a média com variância conhecida).
A razão para usar este teste: como a variância é conhecida ( \sigma^{2}=0,09) e a amostra é de tamanho n=100, usamos o teste-z. A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{Y}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{Y} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=2),
  • \sigma é o desvio-padrão da população (aqui \sigma=\sqrt{0,09}=0,3),
  • \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra.
Calculemos o erro padrão (SE):
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,3}{\sqrt{100}}=\frac{0,3}{10}=0,03.
Como o teste é bilateral e \alpha=0,02, as duas caudas ficam com \alpha/2=0,01 cada. O valor crítico da normal padrão é z_{0,01} tal que P(Z>z_{0,01})=0,01. Esse valor é aproximadamente z_{0,01}\approx 2,3263.
Logo a região crítica em termos de Z é:
\text{Rejeitar }H_0\\ \text{se}\\ |Z|>2,3263.
Convertendo para \bar{Y} (útil na prova):
|Z|>2,3263\quad\Longleftrightarrow\quad |\bar{Y}-2|>2,3263\times 0,03.
Calculemos o produto:
2,3263\times 0,03 \approx 0,0698.
Portanto rejeitamos H_0 se
\bar{Y}<2-0,0698\approx 1,9302\quad\text{ou}\quad \bar{Y}>2+0,0698\approx 2,0698.

Passo 4

(c) Aplicando ao caso \bar{y}=2,02.
Calcule a estatística Z:
Z=\frac{\bar{y}-2}{0,03}=\frac{2,02-2}{0,03}=\frac{0,02}{0,03}\approx 0,6667.
Comparação com a região crítica: |Z|=0,6667 é muito menor que 2,3263. Logo não rejeitamos H_0. Interpretação prática: com \bar{y}=2,02 não há evidência suficiente, ao nível \alpha=0,02, de que a média difere de 2 — portanto não há evidência de que a máquina esteja mal regulada.
Se quiser o p‑valor (útil para interpretar): p‑valor bilateral =2\big(1-\Phi(0,6667)\big). Aproximando \Phi(0,6667)\approx 0,747, então p‑valor \approx 2(1-0,747)=0,506. Isso confirma que é muito maior que 0,02.

Passo 5

(d) Teste sobre a variância: formulação e escolha do teste.
Queremos testar a suspeita de que a variância verdadeira é maior que 0,09. Com amostra de n=100 e s=0,33, e assumindo normalidade, o teste apropriado usa a distribuição qui‑quadrado. As hipóteses são:
H_0:\\ \sigma^{2}=0,09
H_1:\\ \sigma^{2}>0,09
(este é um teste unilateral à direita).
A estatística de teste é
\chi^2=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_0^{2}},
onde:
  • n-1 são os graus de liberdade,
  • s^{2} é a variância amostral,
  • \sigma_0^{2} é a variância sob H_0 (aqui 0,09).

Passo 6

Cálculos para o teste qui‑quadrado.
Primeiro calcule s^{2}:
s^{2}=(0,33)^{2}=0,1089.
Número de graus de liberdade: n-1=99.
Estatística:
\chi^{2}=\frac{99\times 0,1089}{0,09}=99\times\frac{0,1089}{0,09}=99\times 1,21=119,79.
Agora precisamos do valor crítico para nível \alpha=0,10. Como o teste é unilateral à direita, rejeitamos H_0 se
\chi^{2}>\chi^{2}_{1-\alpha,\;df=99},
onde \chi^{2}_{1-\alpha,\;99} é o quantil de ordem 1-\alpha da distribuição qui‑quadrado com 99 graus de liberdade.
Para df=99 e 1-\alpha=0,90 o valor crítico pode ser obtido em tabela ou aproximado. Usando a aproximação normal para o quantil (válida para df grande):
\chi^{2}_{0,90,\;99}\approx 99 + z_{0,90}\sqrt{2\cdot 99}.
Com z_{0,90}\approx 1,2816 e \sqrt{198}\approx 14,071, obtemos
\chi^{2}_{0,90,\;99}\approx 99 + 1,2816\times 14,071\approx 117,03.
Comparando: nossa estatística \chi^{2}=119,79 é maior que o crítico \approx 117,03, então rejeitamos H_0 ao nível de 10\%.
Podemos também estimar o p‑valor aproximado usando a transformação:
z\approx\frac{\chi^{2}-df}{\sqrt{2df}}=\frac{119,79-99}{\sqrt{198}}\approx\frac{20,79}{14,071}\approx 1,477,
então p‑valor (unilateral à direita) \approx 1-\Phi(1,477)\approx 0,070, que é menor que 0,10. Isso confirma a rejeição.
Interpretação prática: há evidência, ao nível de 10\%, de que a variabilidade é maior do que a estabelecida \sigma^{2}=0,09.

Resposta

(a) H_0:\\ \mu=2,\qquad H_1:\\ \mu\neq 2
(b) Rejeitar H_0 se |Z|>2,3263, com Z=\dfrac{\bar{Y}-2}{0,03}. Em termos de \bar{Y}: rejeitar se \bar{Y}<1,9302 ou \bar{Y}>2,0698.
(c) Com \bar{y}=2,02, Z\approx 0,6667; não rejeitamos H_0. Conclusão: sem evidência, ao nível 0,02, de que a máquina esteja mal regulada.
(d) Para variância: H_0:\\ \sigma^{2}=0,09,\qquad H_1:\\ \sigma^{2}>0,09.
Com n=100, s=0,33: \chi^{2}=119,79 (df =99), valor crítico \approx 117,03 para \alpha=0,10. Como 119,79>117,03, rejeitamos H_0. Conclusão: ao nível de 10\% há evidência de que a variância é maior que 0,09.

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