4.O atual tempo de travessia com balsas entre Santos e Guarujá é considerado uma variável aleatória com distribuição Normal de média 10 minutos e desvio padrão de 3 minutos.Uma nova balsa vai entrar em operação e desconfia-se que será mais lenta que as anteriores,isto é,haverá aumento na média especificada pelo modelo acima.
a)Especifique as hipóteses em discussão.
b)Interprete os erros tipo I e tipo II no contexto do problema.
c)Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova balsa,obtenha a região crítica considerando um nível de 5 \%
d)Calcule a probabilidade do erro tipo II,se a nova balsa demora,em média, 2 minutos a mais que as anteriores para completar a travessia.Depois calcule para 3 e 4 minutos a mais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
  • O tempo de travessia com as balsas é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 10 minutos e desvio padrão 3 minutos (ou seja, população com \mu_0=10 e \sigma=3).
  • Uma nova balsa entrou em operação e suspeita‑se que ela seja mais lenta, isto é, que a média dos tempos aumente.
  • Será usada uma amostra de tamanho n=20.
  • Nível de significância pedido: 5\% (ou seja, \alpha=0,05).
  • Quer‑se calcular a probabilidade do erro tipo II quando a verdadeira média aumenta em 2, 3 e 4 minutos (ou seja, \mu=12,13,14).
Perguntas do enunciado:
a) Especificar as hipóteses em discussão.
b) Interpretar, no contexto do problema, o erro tipo I e o erro tipo II.
c) Para amostra de n=20, obter a região crítica considerando nível de 5\%.
d) Calcular a probabilidade do erro tipo II quando a nova balsa demora, em média, 2, 3 e 4 minutos a mais que as anteriores.

Passo 2

(a) Especificação das hipóteses — aqui eu vou escrever claramente qual é a hipótese nula e qual é a alternativa, com notação para a média.
  • A incógnita que nos interessa é a média do tempo de travessia da nova balsa; seja \mu essa média verdadeira.
  • A suspeita é que a nova balsa seja mais lenta, ou seja, que \mu seja maior que 10.
Portanto as hipóteses, em forma padrão, são:
H_0: \mu = 10
H_1: \mu > 10
Obs.: em testes unilateral costuma‑se colocar a igualdade na hipótese nula e a desigualdade (a direção da suspeita) na alternativa. Poderíamos também escrever H_0:\mu\le 10 vs H_1:\mu>10; para a construção do teste usamos a forma H_0:\mu=10 como parâmetro de referência.

Passo 3

(b) Interpretação dos erros tipo I e tipo II no contexto — vou explicar o que cada erro significa em linguagem simples e aplicada ao problema.
  • Erro tipo I (falso positivo): rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. No contexto: concluir que a nova balsa é mais lenta (ou seja, concluir que a média aumentou) quando, na verdade, a média verdadeira ainda é 10 minutos. Isso é um alarme falso: a administração acharia que a balsa é mais lenta quando não é. A probabilidade desse erro é o nível \alpha (aqui 5\%).
  • Erro tipo II (falso negativo): não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira. No contexto: não detectar que a nova balsa é mais lenta (isto é, não rejugar H_0) quando, na verdade, a média aumentou (por exemplo, é 12 minutos). A probabilidade desse erro, para um valor real específico de \mu, chamamos de \beta(\mu). O complemento 1-\beta(\mu) é a potência do teste (probabilidade de detectar o aumento quando ele realmente existe).

Passo 4

(c) Construção da região crítica para \alpha=0,05 com n=20 — método e cálculo detalhado.
Passo didático: como escolher o teste?
  • Aqui a distribuição é Normal com desvio padrão populacional conhecido ( \sigma=3). Para testar a média usamos o teste Z baseado na média amostral \overline{X}.
  • A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z = \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde \mu_0=10, \sigma=3 e n=20. Esta estatística, sob H_0, segue uma normal padrão N(0,1).
Como o teste é unilateral à direita ( H_1:\mu>10), a região crítica é do tipo \overline{X}> alguma constante. Em termos de Z rejeitamos H_0 se
Z > z_{1-\alpha},
onde z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{1-\alpha})=1-\alpha.
Para \alpha=0,05 (teste unilateral à direita) temos
z_{1-\alpha}=z_{0,95}\approx 1,645.
Agora calculamos o erro padrão da média amostral:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{20}} \approx 0,6708.ã
A condição Z>1,645 em termos de \overline{X} vira:
\frac{\overline{X}-10}{0,6708} > 1,645
\overline{X} > 10 + 1,645\cdot 0,6708 \approx 10 + 1,1031 \approx 11,1031.
Arredondando para duas casas decimais (prático para a prova), a região crítica é:
\overline{X} > 11,10 \text{ minutos}.
Interpretação: com nível de 5\% rejeitamos H_0 (concluímos que a nova balsa é mais lenta) sempre que a média amostral exceder aproximadamente 11,10 minutos.

Passo 5

(d) Cálculo da probabilidade do erro tipo II para aumentos de 2, 3 e 4 minutos — fórmula, substituições e valores numéricos.
Primeiro, a fórmula geral. Para um valor verdadeiro \mu=\mu_a (ex.: 12 quando o aumento é 2), a probabilidade de erro tipo II é a probabilidade de não rejeitar H_0 sob esse \mu_a, ou seja:
\beta(\mu_a)=\Pr\big(\text{não rejeitar }H_0 \mid \mu=\mu_a\big) = \Pr\big(\overline{X} \le x_{\text{crit}} \mid \mu=\mu_a\big),ã
onde x_{\text{crit}}=10+1,645\cdot\frac{3}{\sqrt{20}}\approx 11,1031.
Padronizando em relação à distribuição de \overline{X} quando \mu=\mu_a (lembrando que \overline{X}\sim N(\mu_a,\; \sigma/\sqrt{n})):
\beta(\mu_a) = \Pr\!\left( \frac{\overline{X}-\mu_a}{\sigma/\sqrt{n}} \le \frac{x_{\text{crit}}-\mu_a}{\sigma/\sqrt{n}} \right) = \Phi\!\left( \frac{x_{\text{crit}}-\mu_a}{\sigma/\sqrt{n}} \right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Agora aplicamos para cada caso. Vou usar x_{\text{crit}}=11,1031 e \sigma/\sqrt{n}\approx 0,6708.
Caso 1: aumento de 2 minutos \Rightarrow \mu_a=12.
z = \frac{11,1031-12}{0,6708} = \frac{-0,8969}{0,6708} \approx -1,337.
\beta(12) = \Phi(-1,337) \approx 0,091\\ (\text{aprox. }9{,}1\%).
(Usei tabela/valores usuais: \Phi(1,337)\approx 0,909\Rightarrow \Phi(-1,337)=1-0,909\approx0,091.)
Caso 2: aumento de 3 minutos \Rightarrow \mu_a=13.
z = \frac{11,1031-13}{0,6708} = \frac{-1,8969}{0,6708} \approx -2,828.
\beta(13) = \Phi(-2,828) \approx 0,0023\\ (\text{aprox. }0{,}23\%).
Caso 3: aumento de 4 minutos \Rightarrow \mu_a=14.
z = \frac{11,1031-14}{0,6708} = \frac{-2,8969}{0,6708} \approx -4,320.
\beta(14) = \Phi(-4,320) \approx 0{,}0000077\\ (\text{aprox. }0{,}00077\%),
praticamente zero para fins práticos.
Complemento útil (potência): a potência do teste para cada \mu_a é 1-\beta(\mu_a). Assim, por exemplo, para aumento de 2 minutos a potência é cerca de 1-0,091=0,909 (ou 90{,}9\%), e para aumentos de 3 e 4 minutos a potência é praticamente 99{,}77\% e praticamente 100\%, respectivamente.

Resposta

(a) \;H_0:\mu=10 \;,\; H_1:\mu>10.
(b) Erro tipo I: concluir que a nova balsa é mais lenta (rejeitar H_0) quando, na verdade, a média é 10 minutos (probabilidade \alpha=0,05).
Erro tipo II: não detectar que a nova balsa é mais lenta (não rejeitar H_0) quando, na verdade, a média aumentou (probabilidade \beta(\mu) que depende do \mu verdadeiro).
(c) Região crítica (nível 5\%, n=20): rejeitar H_0 se \overline{X}>11,10 minutos (aprox.; valor exato 11,1031 min).
(d) \beta(\mu=12)\approx 0,091 (9,1%); \beta(\mu=13)\approx 0,0023 (0,23%); \beta(\mu=14)\approx 0,0000077 (≈0,00077%).

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