1.O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15 km por litro,segundo informações da montadora.Uma revista especializada verificou o consumo de 25 desses veículos,escolhidos ao acaso. Admita que o consumo siga o modelo Normal com variância igual a 9(\mathrm{~km} \text { por litro })^{2}
a)Formule o problema como um teste de hipótese para verificar a afirmação da montadora.
b)Qual seria a região crítica se \alpha=0.06 ?Encontre os valores de consumo médio de combustível que limitam a região crítica.
c)Para uma amostra com \bar{y}=17 ,o consumo difere ou não da afirmação da montadora?Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações:
  • A montadora afirma que o consumo médio é 15 km por litro (valor reivindicado).
  • A amostra tem tamanho n=25.
  • A variância populacional é conhecida e vale 9 (\text{km por litro})^{2}, então o desvio padrão populacional é \sigma=3 km/L.
  • Assume-se que o consumo segue modelo Normal.
  • Há um nível de significância pedido em (b): \alpha=0{,}06.
  • Em (c) foi obtida uma amostra com média amostral \bar{y}=17.
Perguntas:
a) Formular o teste de hipótese para verificar a afirmação da montadora.
b) Para \alpha=0{,}06, determinar a região crítica (ou seja, os valores de \bar{y} que levam à rejeição de H_0).
c) Com \bar{y}=17, decidir se o consumo difere da afirmação da montadora e justificar.

Passo 2

Formulando as hipóteses (sem resolver ainda): a montadora afirma um valor exato para a média, então o teste para “verificar a afirmação” é um teste bilateral. As hipóteses ficam:
H_0: \mu = 15
H_1: \mu \neq 15
Explicação: H_0 é a hipótese nula que assume que a média verdadeira é a declarada ( 15). H_1 é alternativa bilateral porque queremos verificar se a média difere (pode ser maior ou menor).

Passo 3

Escolha do estatístico de teste e sua fórmula:
Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e a amostra é retirada de uma população normal, usamos o estatístico Z dado por
Z=\frac{\bar{Y}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{Y} é a média amostral observada (variável aleatória),
  • \mu_0 é o valor de referência sob H_0 (aqui \mu_0=15),
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=3),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
    Justificativa didática: esse estatístico padroniza a diferença entre média amostral e média sob H_0 pelo erro padrão da média ( \sigma/\sqrt{n}). Sob H_0, e pelas suposições (normalidade e \sigma conhecido), Z segue a distribuição Normal padrão N(0,1).

Passo 4

Determinar a região crítica para \alpha=0{,}06 num teste bilateral:
  • Como o teste é bilateral, dividimos \alpha em duas caudas: cada cauda terá área \alpha/2 = 0{,}03.
  • O crítico positivo é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}97}, i.e. o quantil da Normal padrão cujo acúmulo à esquerda é 0{,}97.
    Usando tabela da Normal padrão (ou calculadora), obtemos aproximadamente
z_{0{,}97}\approx 1{,}8808.
Portanto a regra de decisão em termos de Z é: rejeitar H_0 se
|Z|>1{,}8808.

Passo 5

Converter a região crítica em termos da média amostral \bar{y}:
  • Primeiro calcule o erro padrão da média:
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}=0{,}6.
  • A condição |Z|>1{,}8808 equivale a
\left|\frac{\bar{y}-15}{0{,}6}\right|>1{,}8808.
Multiplicando por 0{,}6 e resolvendo para \bar{y}:
\bar{y}-15 > 1{,}8808\cdot 0{,}6 \quad\text{ou}\quad \bar{y}-15 < -1{,}8808\cdot 0{,}6.
Calculemos 1{,}8808\cdot 0{,}6:
1{,}8808\times 0{,}6 = 1{,}12848.
Logo os limites são
\bar{y} > 15 + 1{,}12848 = 16{,}12848
ou
\bar{y} < 15 - 1{,}12848 = 13{,}87152.

Passo 6

Interpretação numérica e escrita da região crítica:
A região crítica em termos de \bar{y} é:
\bar{y} < 13{,}87152 \quad\text{ou}\quad \bar{y} > 16{,}12848.
(Arredondando, podemos dizer \bar{y}<13{,}872 ou \bar{y}>16{,}128.)
Explicação prática: se a média amostral cair fora do intervalo [13{,}87152,\;16{,}12848], rejeitamos a hipótese de que a média verdadeira é 15 ao nível \alpha=0{,}06.

Passo 7

Aplicar ao caso com \bar{y}=17 e concluir:
  • Compare \bar{y}=17 com os limites: 17>16{,}12848, portanto \bar{y} está na região crítica de rejeição.
  • Podemos também calcular o valor de Z para ver a magnitude:
Z=\frac{17-15}{0{,}6}=\frac{2}{0{,}6}=3{,}3333\ldots
Como 3{,}3333>1{,}8808, rejeitamos H_0.
  • P-valor (interpretação): p\text{-valor}=2\cdot(1-\Phi(3{,}3333)), que é muito pequeno (aprox. 0{,}00086), confirmando que a evidência contra H_0 é forte.
Conclusão interpretada: com \bar{y}=17 a amostra sugere que o consumo médio difere da afirmação da montadora; especificamente, a média observada é significativamente maior que 15 km/L ao nível \alpha=0{,}06.

Resposta

(a) H_0:\mu=15,\qquad H_1:\mu\neq15
(b) Região crítica: \bar{y}<13{,}87152 ou \bar{y}>16{,}12848 (equivalente a |Z|>1{,}8808).
(c) Com \bar{y}=17 rejeitamos H_0 (pois 17>16{,}12848 e Z=3{,}333>1{,}8808); logo o consumo difere da afirmação da montadora.

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