1.O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15 km por litro,segundo informações da montadora.Uma revista especializada verificou o consumo de 25 desses veículos,escolhidos ao acaso. Admita que o consumo siga o modelo Normal com variância igual a 9(\mathrm{~km} \text { por litro })^{2} .
a)Formule o problema como um teste de hipótese para verificar a afirmação da montadora.
b)Qual seria a região crítica se \alpha=0.06 ?Encontre os valores de consumo médio de combustível que limitam a região crítica.
c)Para uma amostra com \bar{y}=17 ,o consumo difere ou não da afirmação da montadora?Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações:
A montadora afirma que o consumo médio é 15 km por litro (valor reivindicado).
A amostra tem tamanho n=25.
A variância populacional é conhecida e vale 9(\text{km por litro})^{2}, então o desvio padrão populacional é \sigma=3 km/L.
Assume-se que o consumo segue modelo Normal.
Há um nível de significância pedido em (b): \alpha=0{,}06.
Em (c) foi obtida uma amostra com média amostral \bar{y}=17.
Perguntas:
a) Formular o teste de hipótese para verificar a afirmação da montadora.
b) Para \alpha=0{,}06, determinar a região crítica (ou seja, os valores de \bar{y} que levam à rejeição de H_0).
c) Com \bar{y}=17, decidir se o consumo difere da afirmação da montadora e justificar.
Passo 2
Formulando as hipóteses (sem resolver ainda): a montadora afirma um valor exato para a média, então o teste para “verificar a afirmação” é um teste bilateral. As hipóteses ficam:
H_0: \mu = 15
H_1: \mu \neq 15
Explicação: H_0 é a hipótese nula que assume que a média verdadeira é a declarada (15). H_1 é alternativa bilateral porque queremos verificar se a média difere (pode ser maior ou menor).
Passo 3
Escolha do estatístico de teste e sua fórmula:
Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e a amostra é retirada de uma população normal, usamos o estatístico Z dado por
Z=\frac{\bar{Y}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
\bar{Y} é a média amostral observada (variável aleatória),
\mu_0 é o valor de referência sob H_0 (aqui \mu_0=15),
\sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=3),
n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
Justificativa didática: esse estatístico padroniza a diferença entre média amostral e média sob H_0 pelo erro padrão da média (\sigma/\sqrt{n}). Sob H_0, e pelas suposições (normalidade e \sigma conhecido), Z segue a distribuição Normal padrão N(0,1).
Passo 4
Determinar a região crítica para \alpha=0{,}06 num teste bilateral:
Como o teste é bilateral, dividimos \alpha em duas caudas: cada cauda terá área \alpha/2 = 0{,}03.
O crítico positivo é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}97}, i.e. o quantil da Normal padrão cujo acúmulo à esquerda é 0{,}97.
Usando tabela da Normal padrão (ou calculadora), obtemos aproximadamente
z_{0{,}97}\approx 1{,}8808.
Portanto a regra de decisão em termos de Z é: rejeitar H_0 se
|Z|>1{,}8808.
Passo 5
Converter a região crítica em termos da média amostral \bar{y}:
(Arredondando, podemos dizer \bar{y}<13{,}872 ou \bar{y}>16{,}128.)
Explicação prática: se a média amostral cair fora do intervalo [13{,}87152,\;16{,}12848], rejeitamos a hipótese de que a média verdadeira é 15 ao nível \alpha=0{,}06.
Passo 7
Aplicar ao caso com \bar{y}=17 e concluir:
Compare \bar{y}=17 com os limites: 17>16{,}12848, portanto \bar{y} está na região crítica de rejeição.
Podemos também calcular o valor de Z para ver a magnitude:
P-valor (interpretação): p\text{-valor}=2\cdot(1-\Phi(3{,}3333)), que é muito pequeno (aprox. 0{,}00086), confirmando que a evidência contra H_0 é forte.
Conclusão interpretada: com \bar{y}=17 a amostra sugere que o consumo médio difere da afirmação da montadora; especificamente, a média observada é significativamente maior que 15 km/L ao nível \alpha=0{,}06.
Resposta
(a) H_0:\mu=15,\qquad H_1:\mu\neq15
(b) Região crítica: \bar{y}<13{,}87152 ou \bar{y}>16{,}12848 (equivalente a |Z|>1{,}8808).
(c) Com \bar{y}=17 rejeitamos H_0 (pois 17>16{,}12848 e Z=3{,}333>1{,}8808); logo o consumo difere da afirmação da montadora.