[4,0] Considere f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} a função definida por:
f(x)=x(x-2)^{\frac{2}{3}}
  • Verifique que esta função é contínua;
  • Verifique que esta função não é diferenciável;
  • Determine as regiões de crescimento dessa função;
  • Determine seus pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam;
  • Faça um estudo da concavidade do gráfico da função e determine seus pontos de inflexão, caso existam;
  • Faça um esboço do gráfico da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x(x-2)^{\frac{2}{3}},\qquad x\in\mathbb{R},
e pede, passo a passo:
  • Verificar continuidade de f;
  • Verificar diferenciabilidade de f (onde existe e onde não);
  • Determinar as regiões de crescimento (onde é crescente/decrescente);
  • Determinar pontos de máximo e mínimo locais (se existirem);
  • Estudar a concavidade e achar pontos de inflexão (se existirem);
  • Fazer um esboço do gráfico.
Informações úteis que já podemos anotar:
  • Para todo x real, (x-2)^{\frac{2}{3}}=\big((x-2)^2\big)^{1/3}=|x-2|^{\frac{2}{3}}, portanto a função pode ser escrita como
f(x)=x\,|x-2|^{\frac{2}{3}}.

Passo 2

Continuidade: ideias e verificação detalhada.
Conceito rápido que vou usar: uma função é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Produtos e compostos de funções contínuas são contínuos.
  • A função x\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto |x-2| é contínua em todo \mathbb{R}; a potência t\mapsto t^{\frac{2}{3}} é contínua para t\ge0. Como |x-2|\ge0, a composição x\mapsto |x-2|^{\frac{2}{3}} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Produto de contínuas é contínuo, então f(x)=x\cdot |x-2|^{\frac{2}{3}} é contínua em todo \mathbb{R}.
Se preferir checar diretamente no ponto crítico x=2: f(2)=2\cdot0=0. E
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} x|x-2|^{\frac{2}{3}}=2\cdot 0=0,
porque |x-2|^{2/3}\to0. Logo \lim_{x\to2}f(x)=f(2). Conclusão: f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Derivada para x\neq2: aplicação das regras (produto e cadeia).
Vou calcular f'(x) para x\ne2. Escrevo f(x)=x\cdot (x-2)^{\frac{2}{3}}. Usando a regra do produto:
f'(x)=(1)\cdot (x-2)^{\frac{2}{3}} + x\cdot \frac{d}{dx}\big[(x-2)^{\frac{2}{3}}\big].
Para a derivada da potência ( u^{\alpha} com u=x-2, \alpha=\tfrac{2}{3}), pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big[(x-2)^{\frac{2}{3}}\big]=\frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}.
Portanto, para x\ne2,
f'(x)=(x-2)^{\frac{2}{3}} + x\cdot\frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}.
Colocando fator comum (x-2)^{-\frac{1}{3}}:
f'(x)=(x-2)^{-\frac{1}{3}}\Big[(x-2)+\frac{2}{3}x\Big] =(x-2)^{-\frac{1}{3}}\Big(\frac{5}{3}x-2\Big).
Ou, de forma equivalente,
f'(x)=\frac{5x-6}{3\,(x-2)^{\frac{1}{3}}},\qquad x\ne2.
Observação didática: aqui usei que (x-2)^{-1/3} está bem definido para x\ne2 (a raiz cúbica existe para números negativos também), por isso a expressão vale para ambos lados de 2, exceto exatamente em 2 onde há divisão por zero.

Passo 4

Diferenciabilidade em x=2: verificação com limite (derivadas laterais).
Para f ser diferenciável em 2 seria necessário existir o limite do quociente incremental
\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Como f(2)=0, isso é
\lim_{h\to0}\frac{(2+h)\,|h|^{\frac{2}{3}}}{h}.
Escrevo separadamente as laterais.
  • Para h\to0^+: |h|^{2/3}=h^{2/3}. Então
\frac{(2+h)h^{2/3}}{h}=(2+h)h^{-1/3}\xrightarrow[h\to0^+]{} +\infty,
porque h^{-1/3}\to+\infty e o fator (2+h)\to2>0.
  • Para h\to0^-: escrevo h=-t com t\to0^+. Então |h|^{2/3}=t^{2/3} e
\frac{(2+h)|h|^{2/3}}{h}=\frac{(2-t)t^{2/3}}{-t}=-(2-t)t^{-1/3}\xrightarrow[t\to0^+]{} -\infty.
As derivadas laterais são infinitas e de sinais opostos; portanto a derivada em x=2 não existe. A conclusão é que f não é diferenciável em x=2. Geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical em x=2 (a inclinação tende a -\infty pela esquerda e +\infty pela direita).
Para x\ne2 já temos f'(x) dada no passo anterior, então f é diferenciável em todo \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 5

Pontos críticos e análise dos zeros de f'.
Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Temos:
  • f'(x)=0 quando o numerador 5x-6=0, isto é,
x=\frac{6}{5}=1{,}2.
  • f'(x) não existe em x=2. (Já vimos que f é contínua em 2 mas não diferenciável.)
Calculo os valores de f nesses pontos:
  • f\!\left(\frac{6}{5}\right)=\frac{6}{5}\left(\frac{6}{5}-2\right)^{\frac{2}{3}} =\frac{6}{5}\left(-\frac{4}{5}\right)^{\frac{2}{3}} =\frac{6}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2}{3}}.
    (Valor positivo; se quiser aproximação: \left(\tfrac{4}{5}\right)^{2/3}\approx0{,}8618, então f(6/5)\approx1{,}034.)
  • f(2)=2\cdot0=0.

Passo 6

Regiões de crescimento/decrescimento usando o sinal de f'(x).
Expressão útil e simples para o sinal:
f'(x)=\frac{5x-6}{3\,(x-2)^{1/3}}.
O fator 3 é positivo e (x-2)^{1/3} tem o mesmo sinal de x-2. Assim o sinal de f'(x) é o produto do sinal de (5x-6) pelo sinal de (x-2). Vamos particionar a reta pelos pontos onde esses fatores mudam de sinal: x=\tfrac{6}{5} e x=2.
Faço um teste rápido em cada intervalo:
  • Para x<\tfrac{6}{5} (por exemplo x=0): 5x-6<0 e x-2<0 → produto +. Logo f'(x)>0 em (-\infty,\tfrac{6}{5}).
  • Para \tfrac{6}{5}<x<2 (por exemplo x=1{,}5): 5x-6>0 e x-2<0 → produto -. Logo f'(x)<0 em (\tfrac{6}{5},2).
  • Para x>2 (por exemplo x=3): 5x-6>0 e x-2>0 → produto +. Logo f'(x)>0 em (2,\infty).
Conclusão monotonicidade:
  • f é crescente em (-\infty,\tfrac{6}{5}).
  • f é decrescente em (\tfrac{6}{5},2).
  • f é crescente em (2,\infty).

Passo 7

Classificação dos extremos locais.
Usando o teste da primeira derivada:
  • Em x=\tfrac{6}{5} a derivada muda de positiva para negativa ( + -), portanto x=\tfrac{6}{5} é ponto de máximo local. Valor do máximo local:
f\!\left(\frac{6}{5}\right)=\frac{6}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{2}{3}}\quad\text{(aprox. }1{,}034\text{)}.
  • Em x=2 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) e f é contínua em 2, logo x=2 é ponto de mínimo local. Valor:
f(2)=0.
Observação extra: f(0)=0 também, mas 0 não é extremo local (à esquerda de 0 a função é negativa e à direita positiva), logo é apenas intercepto com o eixo x, não máximo/minimo local.

Passo 8

Segunda derivada e concavidade.
Calculei f''(x) para x\ne2 derivando f'(x)=(1/3)(5x-6)(x-2)^{-1/3}. Usando a regra do produto:
f''(x)=\frac{2(5x-12)}{9\,(x-2)^{\frac{4}{3}}},\qquad x\ne2.
Observações sobre o sinal:
  • O denominador (x-2)^{4/3}=\big|x-2\big|^{4/3} é sempre positivo para x\ne2.
  • Então o sinal de f''(x) é o mesmo do numerador 5x-12.
A raiz de f'' ocorre em 5x-12=0, isto é,
x=\frac{12}{5}=2{,}4.
Análise de concavidade:
  • Para x<\tfrac{12}{5} (por exemplo x=1 ou x=2{,}1), 5x-12<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para x>\tfrac{12}{5}, 5x-12>0 f''(x)>0 → concavidade para cima.
Note que em x=2 a segunda derivada não existe, mas a concavidade à esquerda de 2 e à direita de 2 é a mesma (negativa) até x=\tfrac{12}{5}. Portanto x=2 não é ponto de inflexão: não há troca de concavidade em 2.
Conclusão: há um único ponto de inflexão em
x=\frac{12}{5}=2{,}4,
pois aí f'' muda de sinal (concavidade de baixo para cima). O valor da função nesse ponto é
f\!\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{12}{5}\left(\frac{12}{5}-2\right)^{\frac{2}{3}} =\frac{12}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}}.

Passo 9

Comportamento extremo e limites (para ajudar no esboço).
  • Interceptos: f(0)=0 e f(2)=0.
  • Sinais: f(x) tem o mesmo sinal que x (pois |x-2|^{2/3}\ge0), ou seja, f(x)<0 para x<0, f(x)=0 em x=0,2, e f(x)>0 para x>0 (exceto em 2 onde é zero).
  • Limites nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
De forma mais precisa, f(x)\sim x^{5/3} para |x| grande, então cresce como potência 5/3.
  • Comportamento em x=2: tangente vertical (derivada explode).

Passo 10

Esboço do gráfico — instruções para desenhar (passo a passo verbal).
  1. Marque os pontos (0,0) e (2,0).
  2. Marque o máximo local em x=\tfrac{6}{5} com valor f(\tfrac{6}{5})=\tfrac{6}{5}(\tfrac{4}{5})^{2/3} (aprox. 1{,}03).
  3. Marque o ponto de inflexão em x=\tfrac{12}{5}=2{,}4 com y=\tfrac{12}{5}(\tfrac{2}{5})^{2/3}.
  4. Ligue a curva levando em conta:
    • Para x\to-\infty a curva vai a -\infty (é crescente até x=\tfrac{6}{5}).
    • A curva sobe até o máximo em x=\tfrac{6}{5}, depois desce até x=2.
    • Em x=2 a curva atinge 0 com tangente vertical (então desenhe um “fundo” pontiagudo suavemente vertical).
    • Para x>2 a curva sobe de forma crescente, inicialmente com inclinação muito grande (tangente vertical saindo para cima) e a concavidade é para baixo até x=\tfrac{12}{5}, depois passa a concavidade para cima e continua crescendo para +\infty.
  5. Lembrete visual: a curva cruza o eixo x apenas em 0 e 2; para x<0 a função é negativa; entre 0 e 2 é positiva; após 2 é positiva e sobe para +\infty.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}.
f não é diferenciável em x=2; é diferenciável em todo \mathbb{R}\setminus\{2\} e
f'(x)=\frac{5x-6}{3\,(x-2)^{1/3}},\quad x\ne2.
Regiões de crescimento/decrescimento:
  • Crescente em \displaystyle (-\infty,\tfrac{6}{5}).
  • Decrescente em \displaystyle (\tfrac{6}{5},2).
  • Crescente em \displaystyle (2,\infty).
Pontos de máximo/mínimo locais:
  • Máximo local em x=\tfrac{6}{5} com valor f\!\left(\tfrac{6}{5}\right)=\dfrac{6}{5}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{\tfrac{2}{3}} (aprox. 1{,}034).
  • Mínimo local em x=2 com valor f(2)=0.
Concavidade e pontos de inflexão:
  • f''(x)=\dfrac{2(5x-12)}{9\,(x-2)^{4/3}} para x\ne2.
  • Concava para baixo em (-\infty,\tfrac{12}{5})\setminus\{2\}.
  • Concava para cima em (\tfrac{12}{5},\infty).
  • Ponto de inflexão em x=\tfrac{12}{5} com valor f\!\left(\tfrac{12}{5}\right)=\dfrac{12}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\tfrac{2}{3}}.
Esboço do gráfico: interceptos em x=0 e x=2; máximo local em x=\tfrac{6}{5}; tangente vertical em x=2; inflexão em x=\tfrac{12}{5}; comportamento f(x)\to-\infty quando x\to-\infty e f(x)\to+\infty quando x\to+\infty.

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