Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e coisas a observar:
- A função está escrita como uma razão (numerador
e denominador ). - A função trigonométrica
é a recíproca do cosseno: . - Pergunta: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (sem pular etapas).
- Como
é uma razão de duas funções, o jeito direto é aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz: para ,
Aqui vamos identificar
e
.
- Também vamos usar a regra da cadeia para derivar
. A derivada da função secante composta é: se então
- Lembrete simples: a derivada de
(regra do poder) é .
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
- Para o numerador:
- Para o denominador:
A constante
some na derivada e fica só a derivada de
. Usando constante multiplicativa e a regra da cadeia,
Agora aplicar a fórmula da derivada da secante com
(e
):
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
.
Passo 5
Fazer a álgebra para simplificar o numerador, passo a passo.
- Primeiro desenvolver os sinais:
- Podemos fatorar um
em comum no numerador para deixar a expressão mais compacta:
Assim a derivada fica
Passo 6
Observações finais rápidas (úteis na prova):
- A derivada acima é válida nos pontos onde
está definida (ou seja, onde ) e onde o denominador original não é zero (ou seja, ). Nesses pontos a expressão para é correta. - Se preferir, poderia também ter usado a forma
e aplicado produto + cadeia; o resultado final é o mesmo, mas a regra do quociente é mais direta aqui.