Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
h(x)=\frac{x^{2}}{1-2 \operatorname{sec} (x+3)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{x^{2}}{1-2\operatorname{sec}(x+3)}.
Informações dadas e coisas a observar:
  • A função está escrita como uma razão (numerador x^{2} e denominador 1-2\operatorname{sec}(x+3)).
  • A função trigonométrica \operatorname{sec} é a recíproca do cosseno: \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}.
  • Pergunta: encontrar h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (sem pular etapas).
  • Como h é uma razão de duas funções, o jeito direto é aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz: para \;h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\;,
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui vamos identificar u(x)=x^{2} e v(x)=1-2\operatorname{sec}(x+3).
  • Também vamos usar a regra da cadeia para derivar \operatorname{sec}(x+3). A derivada da função secante composta é: se w(x)=\operatorname{sec}(g(x)) então
w'(x)=\operatorname{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x).
  • Lembrete simples: a derivada de \;x^{2}\; (regra do poder) é \;2x.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x) passo a passo.
  • Para o numerador:
u(x)=x^{2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x.
  • Para o denominador:
v(x)=1-2\operatorname{sec}(x+3).
A constante 1 some na derivada e fica só a derivada de -2\operatorname{sec}(x+3). Usando constante multiplicativa e a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)=-2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x+3)\bigr).
Agora aplicar a fórmula da derivada da secante com g(x)=x+3 (e g'(x)=1):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x+3)\bigr)=\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\cdot 1=\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3).
Portanto
v'(x)=-2\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u, u', v, v'.
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)-x^{2}\bigl(-2\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\bigr)}{\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)^{2}}.

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar o numerador, passo a passo.
  • Primeiro desenvolver os sinais:
2x\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)-x^{2}\bigl(-2\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\bigr) =2x-4x\operatorname{sec}(x+3)+2x^{2}\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3).
  • Podemos fatorar um 2x em comum no numerador para deixar a expressão mais compacta:
2x-4x\operatorname{sec}(x+3)+2x^{2}\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3) =2x\Bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)+x\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\Bigr).
Assim a derivada fica
h'(x)=\frac{2x\Bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)+x\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\Bigr)}{\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)^{2}}.

Passo 6

Observações finais rápidas (úteis na prova):
  • A derivada acima é válida nos pontos onde \operatorname{sec}(x+3) está definida (ou seja, onde \cos(x+3)\neq0) e onde o denominador original não é zero (ou seja, 1-2\operatorname{sec}(x+3)\neq0). Nesses pontos a expressão para h'(x) é correta.
  • Se preferir, poderia também ter usado a forma h(x)=x^{2}\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)^{-1} e aplicado produto + cadeia; o resultado final é o mesmo, mas a regra do quociente é mais direta aqui.

Resposta

h'(x)=\frac{2x\Bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)+x\operatorname{sec}(x+3)\tan(x+3)\Bigr)}{\bigl(1-2\operatorname{sec}(x+3)\bigr)^{2}}

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