Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é produto de duas funções: uma exponencial
e uma função arco-tangente . - Não há restrição explícita no domínio: ambas as componentes estão definidas para todo
.
O que se pede: calcular
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
- Regra do produto: se
então
Aqui
e
são quaisquer funções diferenciáveis; a ideia é derivar uma mantendo a outra e somar com a derivada da outra mantendo a primeira.
- Regra da cadeia: se uma função é composta
, então
Serve para quando temos uma função dentro de outra (por exemplo
ou
).
- Derivadas padrão que usaremos:
-
. -
.
-
Vou aplicar essas regras passo a passo e mostrar cada conta.
Passo 3
Identifico as duas funções do produto:
Calcular
. Usando a regra da cadeia para
: a função interna é
cuja derivada é
. Então
Explicando: pensar em
como
com
. A derivada de
é
, logo
dá
.
Passo 4
Calcular
. Aqui
. Use regra da cadeia para
com
.
- Primeiro
tem derivada . - A derivada padrão da
é .
Portanto
Se quiser, dá para expandir o denominador:
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
que já calculamos:
Agrupando
em evidência:
Também é equivalente escrever o denominador expandido:
Passo 6
Comentário final rápido para a prova:
- A forma factorizada
é compacta e deixa claro que a derivada existe para todo (porque sempre). - Se precisar avaliar numericamente em algum
, calcule separadamente , e o termo racional e combine.
Força aí! Essa derivada usa só produto + cadeia; pratique mais um ou dois exemplos parecidos que eu te ajudo se quiser.