Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
g(x)=e^{2 x} \arctan (1-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=e^{2x}\arctan(1-x).
Informações dadas:
  • A função é produto de duas funções: uma exponencial e^{2x} e uma função arco-tangente \arctan(1-x).
  • Não há restrição explícita no domínio: ambas as componentes estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
O que se pede: calcular g'(x), a derivada de g em termos de x.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x) então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são quaisquer funções diferenciáveis; a ideia é derivar uma mantendo a outra e somar com a derivada da outra mantendo a primeira.
  • Regra da cadeia: se uma função é composta F(x)=\varphi(\psi(x)), então
F'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Serve para quando temos uma função dentro de outra (por exemplo \arctan(1-x) ou e^{2x}).
  • Derivadas padrão que usaremos:
    • \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
    • \dfrac{d}{dx}\arctan(u(x))=\dfrac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2}.
Vou aplicar essas regras passo a passo e mostrar cada conta.

Passo 3

Identifico as duas funções do produto:
u(x)=e^{2x},\qquad v(x)=\arctan(1-x).
Calcular u'(x). Usando a regra da cadeia para e^{2x}: a função interna é 2x cuja derivada é 2. Então
u'(x)=2e^{2x}.
Explicando: pensar em e^{2x} como e^{\,\psi(x)} com \psi(x)=2x. A derivada de e^{\psi} é \psi' e^{\psi}, logo \psi'=2 2e^{2x}.

Passo 4

Calcular v'(x). Aqui v(x)=\arctan(1-x). Use regra da cadeia para \arctan(u) com u(x)=1-x.
  • Primeiro u(x)=1-x tem derivada u'(x)=-1.
  • A derivada padrão da \arctan é \dfrac{1}{1+u^2}.
Portanto
v'(x)=\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2}=\frac{-1}{1+(1-x)^2}.
Se quiser, dá para expandir o denominador:
1+(1-x)^2=1+(1-2x+x^2)=2-2x+x^2.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já calculamos:
g'(x)=\bigl(2e^{2x}\bigr)\,\arctan(1-x)+e^{2x}\cdot\left(\frac{-1}{1+(1-x)^2}\right).
Agrupando e^{2x} em evidência:
g'(x)=e^{2x}\left(2\arctan(1-x)-\frac{1}{1+(1-x)^2}\right).
Também é equivalente escrever o denominador expandido:
g'(x)=e^{2x}\left(2\arctan(1-x)-\frac{1}{x^2-2x+2}\right).

Passo 6

Comentário final rápido para a prova:
  • A forma factorizada e^{2x}\bigl(2\arctan(1-x)-1/(1+(1-x)^2)\bigr) é compacta e deixa claro que a derivada existe para todo x (porque 1+(1-x)^2>0 sempre).
  • Se precisar avaliar numericamente em algum x, calcule separadamente e^{2x}, \arctan(1-x) e o termo racional e combine.
Força aí! Essa derivada usa só produto + cadeia; pratique mais um ou dois exemplos parecidos que eu te ajudo se quiser.

Resposta

g'(x)=e^{2x}\left(2\arctan(1-x)-\frac{1}{1+(1-x)^2}\right)

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