[3,0] Considere a função definida pela lei a seguir:
f(x)=\ln (1+\tan (x+1))
  • Verifique que o ponto x=-1 pertence ao domínio de f e calcule f(-1);
  • Calcule a derivada f^{\prime} da função;
  • Encontre f^{\prime}(-1) e determine a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto (-1, f(-1));
  • Use o Teorema da Função Inversa para verificar que a função f é inversível em algum intervalo em torno do ponto x=-1;
  • Determine o domínio máximo de invertibilidade de f em torno do ponto x=-1.
Dica: O último item demanda que você encontre o intervalo contendo o ponto x=-1 no qual a derivada f^{\prime} não muda de sinal.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(1+\tan(x+1)\bigr)
e pede, em partes:
  • Verificar que x=-1 pertence ao domínio de f e calcular f(-1).
  • Calcular a derivada f'.
  • Calcular f'(-1) e obter a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (-1,f(-1)).
  • Usar o Teorema da Função Inversa para verificar que f é inversível em algum intervalo em torno de x=-1.
  • Determinar o domínio máximo de invertibilidade de f ao redor de x=-1 (dica: procurar onde f' não muda de sinal).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função envolve \tan(x+1), portanto \tan só está definida quando \cos(x+1)\neq 0 (ou seja, x+1\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi).
  • O logaritmo natural \ln(\cdot) exige argumento estritamente positivo, isto é, precisa valer 1+\tan(x+1)>0.
  • O ponto de interesse é x=-1, que corresponde a x+1=0.

Passo 2

Verificar que x=-1 pertence ao domínio e calcular f(-1).
Explicação didática: para que f(x) esteja definida em um x devemos ter duas coisas ao mesmo tempo:
  1. \tan(x+1) está definida, isto é, \cos(x+1)\neq 0.
  2. O argumento do logaritmo é positivo: 1+\tan(x+1)>0.
Avaliação em x=-1: primeiro calcule x+1:
x+1 = -1+1 = 0.
Agora veja \tan(0)=0 e \cos(0)=1\neq 0. Logo \tan(x+1) está definida em x=-1. Além disso,
1+\tan(0)=1+0=1>0,
portanto o argumento do \ln é positivo. Conclusão: x=-1 pertence ao domínio de f.
Calcular f(-1):
f(-1)=\ln\bigl(1+\tan(0)\bigr)=\ln(1)=0.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo e explicar as regras usadas.
Relembrando fórmulas básicas (didática):
  • A derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}, desde que u(x)>0.
  • A derivada de \tan(v(x)) é v'(x)\operatorname{sec}^2(v(x)), e \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos t}.
Aplicando essas regras: aqui u(x)=1+\tan(x+1). Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\tan(x+1)=1\cdot\operatorname{sec}^2(x+1)=\operatorname{sec}^2(x+1),
pois a derivada de x+1 é 1.
Agora a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\operatorname{sec}^2(x+1)}{1+\tan(x+1)}.
Podemos, se quisermos, simplificar essa expressão trigonométrica para uma forma sem \operatorname{sec}. Use \operatorname{sec}^2=\dfrac{1}{\cos^2} e \tan=\dfrac{\sin}{\cos}:
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{\cos^2(x+1)}}{1+\dfrac{\sin(x+1)}{\cos(x+1)}} =\frac{1}{\cos^2(x+1)}\cdot\frac{\cos(x+1)}{\cos(x+1)+\sin(x+1)} =\frac{1}{\cos(x+1)\bigl(\cos(x+1)+\sin(x+1)\bigr)}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira, \dfrac{\operatorname{sec}^2(x+1)}{1+\tan(x+1)}, é direta e clara sobre a origem (derivada do \ln e da \tan).
Também comente sobre domínio da derivada: f'(x) existe quando \tan(x+1) está definida (ou seja, \cos(x+1)\neq 0) e quando 1+\tan(x+1)\neq 0 (pois aparece no denominador). Essas são as mesmas restrições já presentes no domínio de f (a igualdade 1+\tan=0 é proibida pela \ln).

Passo 4

Calcular f'(-1) e a equação da reta tangente no ponto (-1,f(-1)).
Já temos f' em fórmula. Avaliando em x=-1 (portanto x+1=0):
f'(-1)=\frac{\operatorname{sec}^2(0)}{1+\tan(0)}=\frac{1}{1+0}=1.
(Usei \operatorname{sec}(0)=1 e \tan(0)=0.)
Agora a reta tangente no ponto (x_0,y_0)=(-1,f(-1))=(-1,0) tem equação ponto-declive:
y-y_0 = f'(x_0)\,(x-x_0).
Substituindo y_0=0, f'(x_0)=1, x_0=-1:
y-0 = 1\cdot (x-(-1)) \quad\Rightarrow\quad y=x+1.
Portanto a reta tangente é y=x+1.

Passo 5

Usar o Teorema da Função Inversa para verificar invertibilidade local em torno de x=-1.
Enunciado simples do Teorema da Função Inversa (versão usada): se f é diferenciável em x_0 numa vizinhança e f'(x_0)\neq 0, então existe um intervalo aberto I contendo x_0 tal que f é bijetora (estritamente monotônica) em I e, portanto, invertível em I.
Aqui verificações:
  • Já mostramos que f é diferenciável em x=-1 e calculamos f'(-1)=1\neq 0.
  • f' é composta por funções trigonométricas e quocientes que são contínuas onde definidas, portanto f' é contínua num pequeno intervalo ao redor de -1 (desde que não se atinja pontos onde \cos(x+1)=0 ou 1+\tan(x+1)=0).
Logo, pelo Teorema da Função Inversa, existe um intervalo aberto contendo x=-1 no qual f é invertível. Além disso, porque f'(x)>0 nesse intervalo, f é estritamente crescente ali (o que garante a invertibilidade).

Passo 6

Determinar o domínio máximo de invertibilidade de f em torno de x=-1.
Estratégia didática: para obter o maior intervalo aberto que contenha -1 onde f é invertível, buscamos a maior componente conexa do domínio de f que contenha -1 e em que f' não mude de sinal. Como f' tem a forma
f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x+1)}{1+\tan(x+1)},
observe que \operatorname{sec}^2(x+1)>0 para todos x onde está definida. Assim o sinal de f'(x) é o mesmo do sinal de 1+\tan(x+1). Mas o domínio de f exige já 1+\tan(x+1)>0. Portanto, em cada componente conexa do domínio de f a derivada é estritamente positiva — isto implica monotonicidade crescente em cada componente. Assim o domínio máximo de invertibilidade ao redor de -1 é exatamente a componente conexa do domínio de f que contém -1.
Para simplificar a análise, faça a mudança y=x+1. O ponto x=-1 corresponde a y=0. Em termos de y a condição de domínio é:
  • \cos y\neq 0 (para a definição de \tan y), i.e. y\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • 1+\tan y>0, isto é \tan y>-1.
Considere o intervalo principal onde \tan é contínua e crescente: y\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Dentro desse intervalo \tan vai de -\infty a +\infty e cruza o valor -1 exatamente em y=\arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4}. Logo, na componente que contém y=0 (que é a componente \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr)), a desigualdade \tan y>-1 equivale a
y> -\tfrac{\pi}{4}.
Juntando com o limite superior da componente (onde \tan fica indefinida em \tfrac{\pi}{2}), obtemos que a componente conexa do domínio de f que contém y=0 é
\bigl(-\tfrac{\pi}{4},\; \tfrac{\pi}{2}\bigr).
Traduzindo de volta para x com x=y-1, a componente conexa do domínio de f que contém x=-1 é
\bigl(-1-\tfrac{\pi}{4},\; -1+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Argumento que isso é maximal: nas fronteiras deste intervalo ocorrem exatamente dois problemas que impedem continuar a invertibilidade continuamente:
  • em x=-1-\tfrac{\pi}{4} temos x+1=-\tfrac{\pi}{4} e aí \tan(x+1)=-1, então 1+\tan(x+1)=0 e o \ln deixa de estar definido (o argumento chega a zero) — fronteira natural.
  • em x=-1+\tfrac{\pi}{2} temos x+1=\tfrac{\pi}{2} onde \tan é indefinida (assim f não está nem definida) — outra fronteira natural.
Portanto não é possível estender mais o intervalo de invertibilidade contíguo a -1. Em cada ponto desse intervalo interno f'(x)>0, logo f é estritamente crescente e, portanto, invertível em todo
\bigl(-1-\tfrac{\pi}{4},\; -1+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

x=-1 pertence ao domínio de f e f(-1)=0.
f'(x)=\dfrac{\operatorname{sec}^2(x+1)}{1+\tan(x+1)}.
f'(-1)=1 e a reta tangente em (-1,0) é y=x+1.
Pelo Teorema da Função Inversa, f é inversível em algum intervalo em torno de x=-1 porque f'(-1)\neq0.
O domínio máximo de invertibilidade de f em torno de x=-1 é \displaystyle\bigl(-1-\tfrac{\pi}{4},\;-1+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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