[3,0] Considere a função definida pela lei a seguir:
- Verifique que o ponto
pertence ao domínio de
e calcule
;
- Calcule a derivada
da função;
- Encontre
e determine a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto
;
- Use o Teorema da Função Inversa para verificar que a função
é inversível em algum intervalo em torno do ponto
;
- Determine o domínio máximo de invertibilidade de
em torno do ponto
.
Dica: O último item demanda que você encontre o intervalo contendo o ponto
no qual a derivada
não muda de sinal.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em partes:
- Verificar que
pertence ao domínio de e calcular . - Calcular a derivada
. - Calcular
e obter a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . - Usar o Teorema da Função Inversa para verificar que
é inversível em algum intervalo em torno de . - Determinar o domínio máximo de invertibilidade de
ao redor de (dica: procurar onde não muda de sinal).
Informações relevantes do enunciado:
- A função envolve
, portanto só está definida quando (ou seja, ). - O logaritmo natural
exige argumento estritamente positivo, isto é, precisa valer . - O ponto de interesse é
, que corresponde a .
Passo 2
Verificar que
pertence ao domínio e calcular
.
Explicação didática: para que
esteja definida em um
devemos ter duas coisas ao mesmo tempo:
-
está definida, isto é, . - O argumento do logaritmo é positivo:
.
Avaliação em
: primeiro calcule
:
Agora veja
e
. Logo
está definida em
. Além disso,
portanto o argumento do
é positivo. Conclusão:
pertence ao domínio de
.
Calcular
:
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo e explicar as regras usadas.
Relembrando fórmulas básicas (didática):
- A derivada de
é , desde que . - A derivada de
é , e .
Aplicando essas regras: aqui
. Então
pois a derivada de
é
.
Agora a derivada de
é
Podemos, se quisermos, simplificar essa expressão trigonométrica para uma forma sem
. Use
e
:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira,
, é direta e clara sobre a origem (derivada do
e da
).
Também comente sobre domínio da derivada:
existe quando
está definida (ou seja,
) e quando
(pois aparece no denominador). Essas são as mesmas restrições já presentes no domínio de
(a igualdade
é proibida pela
).
Passo 4
Calcular
e a equação da reta tangente no ponto
.
Já temos
em fórmula. Avaliando em
(portanto
):
(Usei
e
.)
Agora a reta tangente no ponto
tem equação ponto-declive:
Substituindo
,
,
:
Portanto a reta tangente é
.
Passo 5
Usar o Teorema da Função Inversa para verificar invertibilidade local em torno de
.
Enunciado simples do Teorema da Função Inversa (versão usada): se
é diferenciável em
numa vizinhança e
, então existe um intervalo aberto
contendo
tal que
é bijetora (estritamente monotônica) em
e, portanto, invertível em
.
Aqui verificações:
- Já mostramos que
é diferenciável em e calculamos . -
é composta por funções trigonométricas e quocientes que são contínuas onde definidas, portanto é contínua num pequeno intervalo ao redor de (desde que não se atinja pontos onde ou ).
Logo, pelo Teorema da Função Inversa, existe um intervalo aberto contendo
no qual
é invertível. Além disso, porque
nesse intervalo,
é estritamente crescente ali (o que garante a invertibilidade).
Passo 6
Determinar o domínio máximo de invertibilidade de
em torno de
.
Estratégia didática: para obter o maior intervalo aberto que contenha
onde
é invertível, buscamos a maior componente conexa do domínio de
que contenha
e em que
não mude de sinal. Como
tem a forma
observe que
para todos
onde está definida. Assim o sinal de
é o mesmo do sinal de
. Mas o domínio de
exige já
. Portanto, em cada componente conexa do domínio de
a derivada é estritamente positiva — isto implica monotonicidade crescente em cada componente. Assim o domínio máximo de invertibilidade ao redor de
é exatamente a componente conexa do domínio de
que contém
.
Para simplificar a análise, faça a mudança
. O ponto
corresponde a
. Em termos de
a condição de domínio é:
-
(para a definição de ), i.e. . -
, isto é .
Considere o intervalo principal onde
é contínua e crescente:
. Dentro desse intervalo
vai de
a
e cruza o valor
exatamente em
. Logo, na componente que contém
(que é a componente
), a desigualdade
equivale a
Juntando com o limite superior da componente (onde
fica indefinida em
), obtemos que a componente conexa do domínio de
que contém
é
Traduzindo de volta para
com
, a componente conexa do domínio de
que contém
é
Argumento que isso é maximal: nas fronteiras deste intervalo ocorrem exatamente dois problemas que impedem continuar a invertibilidade continuamente:
- em
temos e aí , então e o deixa de estar definido (o argumento chega a zero) — fronteira natural. - em
temos onde é indefinida (assim não está nem definida) — outra fronteira natural.
Portanto não é possível estender mais o intervalo de invertibilidade contíguo a
. Em cada ponto desse intervalo interno
, logo
é estritamente crescente e, portanto, invertível em todo
Resposta
Pelo Teorema da Função Inversa,
O domínio máximo de invertibilidade de